Глагол яти (брать) относится к древнейшим глаголам русского языка. Однако в процессе развития языка этот глагол был утрачен. В результате в некоторых словах с этим древним корнем сложно выделить приставки, например: объём, объять, необъятный и др. У лингвистов нет единого мнения о составе этих слов. Но если при собственно морфемном анализе сопоставить исторически родственные слова объём — разъём, объять — разъять, то можно опознать в этих словах приставки с их характерным значением и выделить корень -ят-. На этом основании в соответствии с правилами орфографии в этих словах пишется разделительный твердый знак.

При синхроническом словообразовательном анализе приставка не выделяется.

ПОДВИ́НУТЬ, -ну, -нешь; подви́нутый; -нут, -а, -о; св. кого-что. 1. (кому-чему, к кому-чему). Несколько, немного придвинуть или передвинуть. Подвинь стол! П. к жене тарелку. // Подвинуть, переместить в сторону. С грохотом п. стул. 2. Разг. Продвинуть немного вперёд в каком-л. отношении, содействовать развитию, совершенствованию чего-л. Существенно п. дело. П. дело вперёд, далеко. Далеко п. свои воспоминания. 3. Устар. Побудить, склонить к совершению чего-л. П. друга на сострадание. П. себя на поездку в деревню. Подвига́ть, -а́ю, -а́ешь; нсв. Подвига́ться, -а́ется; страд. Подви́жка (см.).

ПОДОДВИ́НУТЬ, -ну, -нешь; св. Немного, поближе придвинуть.

В русском языке такого различия в значении нет.

Большой толковый словарь

Эти варианты можно употреблять, они не противоречат норме. Вот как характеризуют понятие старшей и младшей нормы авторы «Большого орфоэпического словаря» под ред. Л. Л. Касаткина: «Орфоэпические варианты могут характеризовать младшую норму, возникшую недавно и свойственную главным образом младшему поколению носителей литературного языка, и старшую норму — уходящую, свойственную главным образом старшему поколению. Новое произношение постепенно вытесняет старое, но на определенном этапе развития литературного языка обе нормы сосуществуют; например, для некоторых сочетаний согласных традиционно произношение мягкого согласного перед мягким: [з’в’]ерь, е[с’л’]и; по новой норме первый согласный — твёрдый: [зв’]ерь, е[сл’]и».

В первой части предложения сравнительный оборот образует смысловой центр (смысл не в том, что полицмейстер заходит в лавки, а в том, как именно он это делает), а значит, тесно связан со сказуемым, что дает основание не обособлять его. Сравним примеры из Национального корпуса русского языка: Художники и гуманисты приходили к Козимо как к себе домой и чувствовали себя с ним совсем просто. [А. К. Дживелегов. Вазари и Италия (1933)] (здесь случай, подобный Вашему); А то я туда сунулся, как к себе домой, а там мужик какой-то незнакомый [А. Маринина. Не мешайте палачу (1996)] (смысловой центр первой части, важный для развития сюжета, образует сказуемое сунулся, оборот как к себе домой добавляет малосущественную характеристику).

Допустимы оба варианта: Я всегда хожу накрашенная и Я всегда хожу накрашенной. 
См. ходить в «Большом универсальном словаре русского языка»:

13.0. Находиться, пребывать в каком-л. состоянии, положении и т. п. Син. бегать.

Ходить в каком-л. виде (в каком-л. состоянии, в каком-л. настроении …). Кто-л. ходит раздетым / раздетый (голым / голый, босым / босой, голодным / голодный, весёлым / весёлый, грустным / грустный, пьяным / пьяный, довольным / довольный, подавленным / подавленный, беременной / беременная, убитый горем …)

В предложениях Я хожу ненакрашенная и Я хожу ненакрашенной Вы верно написали не с причастием. Если в предложении нет противопоставления (Пришла не накрашенная, а умытая) и у причастия нет зависимых слов (Из-за не накрашенной до конца актрисы съёмки отложили), не с причастием пишется слитно.

Мы не видим ничего страшного в подобном задании. Да, слова раб и работа этимологически родственные (кстати, восходят они к очень древней индоевропейской основе, к которой, по-видимому, восходит и немецкое Arbeit 'работа'). Более того, в древнерусском языке слово работа первоначально означало 'рабство, неволя; служение', и только с течением времени (после XVII века) слово работа получило устойчивое значение 'трудовая деятельность, труд'.

Вряд ли подобные задания могут сформировать негативное отношение к труду (эта логика очень похожа на ту, которой в конце 30-х годов руководствовались партработники, наблюдавшие за составлением словаря Ушакова и запретившие помещать друг за другом словарные статьи ленивый и ленинец). Как раз наоборот: выполнение этимологического анализа таких слов – менявших со временем свое значение – способствует развитию языкового чутья и пониманию исторических процессов, происходивших в русском языке.

Уважаемая Юлия, Вы напрасно обижаетесь и напрасно придаете политический смысл предлогам. Употребление предлога на никоим образом не нарушает суверенитета Украины, да и не может его нарушать. Да, Украина – независимое государство, и с названием этого государства согласно литературной норме, обусловленной историческим развитием русского языка, употребляется предлог на.

А что касается слова кофе – его допустимо употреблять как существительное среднего рода только в разговорной речи. Писать мы по-прежнему должны черный кофе, так опять же требует строгая литературная норма. Возможно, что со временем варианты черное кофе и в Украине станут литературной нормой, будут зафиксированы словарями и рекомендоваться как предпочтительные. Но для этого должно пройти время. Норма, подчеркиваем, – результат исторического развития языка.  Как писал выдающийся русский лингвист А. М. Пешковский, норма – это то, что было, и отчасти то, что есть, но отнюдь не то, что будет.