Возможны оба варианта. При оборотах, образованных сочетанием «именительный падеж плюс творительный падеж с предлогом с», сказуемое может стоять как в форме множественного, так и в форме единственного числа. Форма множественного числа показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается взаимосвязанным равноправным субъектам. Форма единственного числа показывает, что подлежащим является только существительное в именительном падеже, а существительное в творительном падеже выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия.
Итак, в зависимости от смысла: Ю. И. Хардиков с внучкой Аней знакомятся с новой экспозицией – если речь идет обо всех участниках действия. Ю. И. Хардиков с внучкой Аней знакомится с новой экспозицией – если речь идет в первую очередь о Хардикове.
Обе формулировки возможны: новое поколение (автомобилей) BMW и (автомобили) BMW нового поколения.
См. Актуальный вопрос.
Фамилия Забейворота склоняется (и мужская, и женская). Вы написали правильно.
Наречие как-то пишется через дефис, в том числе в значении 'неясно как, хорошо или плохо'; в конце предложения лучше поставить вопросительный знак: Как-то привьется побег православия на новой ветви?
