Вы имеете в виду, нужно ли писать слово ёлка через Ё? Делать это не обязательно.
Словари характеризуют это сложносокращенное слово как разговорное.
Возможны оба варианта: В рамках проекта были организованы две научные школы и В рамках проекта было организовано две научных школы. Второй предпочтителен.
О правописании НЕ с существительными см. в Правилах.
Воспользуйтесь рубрикой "Письмовник": http://gramota.ru/spravka/letters/
Фраза корректна.
Корректно дефисное написание: рентген-операционная.
Слово корень многозначно, мы это подтверждаем на основании данных словарей, можно это использовать в научной работе.
Общелитературная норма обязывает употреблять определение в форме мужского рода: наш влюбленный детектив. Согласование по смыслу возможно в разговорной речи: наша влюбленная детектив Иванова.
