Да, запятая перед словом нужна ставится. Это сложноподчиненное предложение, в котором придаточная часть чтобы во всем разобраться и помочь в решении должна быть отделена запятой от главной части нужна дополнительная информация. 

В этом предложении особый случай: прямая речь находится внутри слов автора. Поскольку перед союзом так как необходима запятая, то только она и ставится после цитаты, необходимости в тире здесь нет. См. пункт 1 параграфа 136 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Это придаточное определительное. 

Вы совершенно правы: в первой строфе стихотворения содержится не сложносочиненное предложение, а простое, осложненное однородными сказуемыми и обособленным деепричастием. Запятая перед союзом и не требуется. 

В данном случае буквенное наращение возможно: Выплаты начисляются 1 и 15-го числа каждого месяца.

1. Запятые нужны, так как оборот со значением включения расположен между подлежащим и сказуемым: Наше учреждение, вместе с другими аналогичными организациями, было отмечено... 2. Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). В таких предложениях при наличии паузы ставится тире, при отсутствии паузы знак не нужен. Приведенное предложение едва ли возможно прочитать без паузы, поэтому рекомендуем вариант с тире: В нашей рубрике «Знай наших» сегодня — начальник управления образования. 3. Ситуация аналогична предыдущей: Сегодня в нашей рубрике «Знай наших» — начальник управления образования.

В этом предложении написание (не)важно зависит от контекста и намерений автора. Слитное написание (неважно) используется, если автор намерен подчеркнуть незначительность, отсутствие важности чего-то. Раздельное написание (не важно) подходит, если автор намерен подчеркнуть отрицание важности, например в контексте возражения или противопоставления. См. параграф 149 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Здесь внимание — нечленимое предложение (слово-предложение), которое служит для выражения требования или просьбы о внимании. Нечленимое предложение (слово-предложение) образует отдельную грамматическую основу. Соответственно, перед нами сложное предложение. Добавим, что возможен и другой вариант оформления высказывания: Внимание! На тебя идет человек подполья! 

Интуиция Вас не подводит: откуда я это знаю — придаточное предложение, которое нужно отделить от главной части. Оно действительно занимает позицию подлежащего при сказуемом главной части не должно беспокоить, но это не препятствует постановке запятой. В данном случае запятую можно заменить на тире, поскольку изъяснительное придаточное предшествует главной части: Я это знаю, а откуда я это знаю — не должно вас беспокоить.

В вашем предложении присутствует ошибка, связанная с нарушением порядка слов и структуры причастного оборота. Правильный вариант может выглядеть следующим образом: "Он показал на распахнутую входную дверь, обитую железными полосами и закреплённую на мощных кованых навесах".