Передать эту языковую игру на письме можно только раздельным написанием: имеет право на лево. Слово лево в таком случае будет использоваться в функции существительного, т. к. обозначает предмет (ср.: связь на стороне, отношения на стороне).
Написание в кавычках с прописной уместно в том случае, если название используется как торговое (на ценнике, в меню и т. д.): салат «Селедка под шубой». При передаче на письме бытовой речи правильно строчными без кавычек: какой Новый год без селедки под шубой!
Корректно: под эгидой ФИФА и УЕФА. Ср.: под покровительством ФИФА и УЕФА, действовать под эгидой наблюдателей.
Верно: зрение на левом глазу.
В творительном падеже возможны оба варианта.
Запятая не ставится. Слова "под названием" избыточны.
См. «Словарь трудностей».
