В тексте публицистического характера прописная буква в слове центр, заменяющем собою полное название, не требуется. В деловых бумагах это слово пишется с прописной буквы, при этом в начале документа указывают: Центр репродукции человека (далее Центр).

Оба варианта представляются нам неудачными. Возможно, в качестве общего наименования стоит использовать оборот учреждения культуры?

Правильно: два или более органа. Например: Система — это два или более связанных между собой органа со сходными функциями.

Беспредложный вариант (орган сертификации) лучше.

Словосочетание орган по сертификации пишется со строчной буквы, так как оно не является названием конкретного учреждения или организации.

Корректно: органы управления рыбохозяйственной деятельностью.

Запятая поставлена правильно. Определительный оборот возложенная на органы ПФР выделяется запятыми с обеих сторон.

Корректно без повтора: В рамках взаимодействия направляем информацию в федеральные органы исполнительной власти (по списку). 

В этом предложении союз как имеет значение «в качестве» (= в качестве уполномоченного органа), что не требует знаков препинания.

Сочетание прижав руку к сердцу корректно, т. к. слово сердце означает не только 'центральный орган кровообращения', но и 'место на левой стороне груди, где находится этот орган'. Прижав руку к сердцу = прижав руку к той стороне груди, где находится сердце. Это сочетание употребляется и в художественной литературе, у писателей-классиков, например: Сделав страдальческое лицо и прижав руку к сердцу, он опять начал объяснять Щукиной, но голос его оборвался… А. Чехов, Беззащитное существо. «Я не знаю… у меня что-то грудь болит…» – сказал он, прижав руку к сердцу. И. Гончаров, Обыкновенная история. ...Сам Аполлон Аполлонович, недоуменно моргая и прижав руку к сердцу, дабы умерить одышку, побежал вдогонку за ускользавшей в тумане спиной господинчика... А. Белый, Петербург.