Запятая не нужна. Сочетание по пути домой является обычным обстоятельством времени, которое не требует обособления.
Варианты равноценны.
Запятая возможна, но она не является обязательной.
Это односоставное безличное предложение с грамматической основой надо идти.
Корректно: Не секрет, что он тогда ходил в магазин. Не секрет — это не вводное слово, а самостоятельное предложение.
Если название употребляется в тексте, кавычки нужны: У нас открыли магазин «Мила». В «Миле» самая вкусная кулинария.
Если название указывается на вывеске (без родового слова магазин), кавычки не ставятся.
Грамматически верно: просим вашего разрешения на закрытие магазина. Но если есть возможность уйти от безжизненного канцелярского языка, лучше это сделать: просим вас разрешить закрыть магазин.
