Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Орфографический словарь
Большой толковый словарь
Слово луна не употребляется здесь в терминологическом значении, поэтому пишется строчными: ничто не вечно под луной.
Слово "секунда" употреблено правильно.
Правильно: Как меня только не называли пассажиры: сигара, комод, ракета, щука…
В первой части: Щука — подлежащее, попалась большая — составное именное сказуемое с так называемой знаменательной связкой.
Во второй части: главный член безличного предложения было много хлопот.
Алексейка; Алёха; Лёха; Алёша; Лёша; Алёня; Лёня; Алёка (Алека); Лёка (Лека); Лёля; Аля; Алюня; Люня.
Следует поставить тире. Тире ставится между подлежащим и сказуемым, если один из главных членов выражен формой именительного падежа существительного, а другой – неопределенной формой глагола.