В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова (М., 2002) в этом слове выделен корень -вяз-. Словообразовательная цепочка: вязать – связать – связь – связист. Вероятно, учительница считает слово связь непроизводным в современном русском языке. Эту точку зрения можно понять: на современном этапе развития языка вывести значение слов связь, связист из корня -вяз- затруднительно. Но всё-таки представляется, что смысловые связи между словами вязать – связать – связь разрушены еще не полностью и выделение корня -вяз- пока еще оправданно.
Верно: со своевременным.
Подробный ответ здесь.
Корректно слитное написание.
См. ответ на вопрос № 254249.
Верно: весенних полевых работ.
Правильно: со злоупотреблениями.
Нет, слитное написание невозможно.
О подчинительной связи см. в учебнике Е. И. Литневской.
