См. ответ на вопрос № 259386.
Пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» («Словарь методических терминов»).
Да, кавычки нужны. Во-первых, они указывают на синтаксическую несогласованность; во-вторых, показывают границы названия, состоящего из нескольких слов, разделенных запятыми.
Да, конечно.
Предлог повторять не нужно: мы поучаствовали в мероприятии и игре.
На первый взгляд, сочетание двое Олимпийских игр соответствует правилу, т. к. название Олимпийские игры в единственном числе не употребляется. Однако у слова игры единственное число существует, поэтому аналогия с сочетанием двое суток не вполне корректна и правильность выражения двое Олимпийских игр вызывает сомнения. Предпочтительно перестроить фразу.
Орфографический словарь
Не хватает запятой перед союзом и, в остальном такая пунктуация возможна.
Запятая не ставится.
