Корректно: ждем новых открытий.
Правильно: достигать чего-либо. Сотрудники достигают новых профессиональных высот.
Верно: кукол.
При существительных женского рода, зависящих от числительных два, три, четыре (а также от составных числительных, оканчивающихся на указанные цифры), определение, находящееся между числительным и существительным, ставится, как правило, в форме именительного (или совпадающего с ним винительного при неодушевленных существительных) падежа множественного числа. Таким образом, предпочтительно: две новые воительницы.
Трудно судить о правильности по отдельным фрагментам. Нужно видеть более обширный контекст.
Таких норм не существует. У каждого пишущего со временем вырабатываются индивидуальные особенности почерка, и регламентировать эту сферу какими-то нормами невозможно и не нужно. Каллиграфия – это не только навык, это искусство. О каллиграфии как искусстве увлекательно рассказывают в Современном музее каллиграфии.
Управление намек о ком-либо, чем-либо отмечено в справочниках как устаревшее. Правильно: намек на коррупцию.
Верен первый вариант.
