Правилен второй вариант. Правило таково. 

Правильными являются конструкции 35,5 процента (не ...процентов), 12,6 километра (не ...километров), т. е. при смешанном числе существительным управляет дробь, а не целое число. Также: 45,0 (сорок пять и ноль десятых) секунды, 67/8 (шесть и семь восьмых) метра и т. п. (Розенталь Д. Э., Джанджакова Е. В., Кабанова Н. П. Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию. М., 1999. § 166).

Эта конструкция воспринимается скорее как простое предложение с подлежащим мы и однородными сказуемыми печем и пробуем. Соответственно, основной вариант расстановки знаков препинания в ней таков: Мы всегда печем имбирное печенье, (при этом) пробуем новые рецепты, новые формочки. Вместе с тем конструкцию можно воспринимать как бессоюзное сложное предложение с неполной второй частью (пропущено подлежащее мы), конкретизирующей то, что сказано в первой, а значит, двоеточие возможно. 

Словарь В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?» фиксирует название в форме Шенграбенское сражение, «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко — Шёнграбенский бой. Полагаем, что в терминах А. А. Зализняка первый вариант произношения прилагательного можно назвать руссконаправленным, то есть соответствующим произносительными закономерностям русского языка, а значит, более удобным для произнесения в русском языке, второй — иностраннонаправленным, более близким к иностранному источнику.

В словах обыскать и объект приставки разного происхождения. В первом слове — это исконная приставка (см. словарную статью). Во втором — латинская, со значением в языке-источнике «навстречу, перед, против» (подробнее об этой приставке здесь). В русском языке иностранная приставка не стала самостоятельной морфемой, мы не осознаем ее значение, не образуем с ее помощью слова, поэтому она выделяется только тогда, когда важно показать историческую структуру заимствованного слова.  

Предложение нуждается в редактировании. Возможные варианты:

• Но как в беседе со специалистами, так и у стенда с опытными образцами нам трудно было что-либо понять. (Запятая ставится перед второй частью двойного союза как... так и, соединяющего однородные члены предложения, в данном случае обстоятельства);
• Но, как и в беседе со специалистами, у стенда с опытными образцами нам трудно было что-либо понять. (Обособляется оборот с союзом как и).

Союз если часто употребляется, выражая условные отношения, сам по себе, без второй части то (см., в частности, многочисленные примеры в «Большом толковом словаре»), поэтому в постановке тире вместо запятой нет необходимости. Вместе с тем, если в сложноподчиненном предложении с условными отношениями придаточная часть предшествует главной, такое тире может быть поставлено — см. об этом пункт 1 параграфа 38.1  справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя.

Ваш вариант постановки знаков препинания соответствует правилам русской пунктуации. Правда, если первые две части разделены запятой, выражающей перечислительные отношения, получается, что последняя часть содержит следствие не только из второй (ты пришла), но и из первой части (без тебя душа болела), а это явно противоречит общему смыслу высказывания. Для более точного выражения смысла рекомендуется отделить первую часть точкой: Без тебя душа болела. Ты пришла — и всё прошло. 

В приведенных случаях два глагола (сочетания), вводящих прямую речь, относятся к одному фрагменту прямой речи. Это выглядит стилистической ошибкой — плеоназмом. В первом случае плеоназм устраним только удалением из текста фразы отмечал А. Во втором случае можно поставить точку вместо двоеточия, и тогда сочетание выступил со словами благодарности перестанет быть сочетанием, вводящим прямую речь: На собрании выступил А. со словами благодарности. «Текст», — сказал спикер.

Вы правы, ряд существительных в именительном падеже слово, части речи, члены предложения и предложения нельзя считать рядом однородных членов с обобщающим словом категорий, поскольку это существительное стоит в форме родительного падежа. Конструкция может быть интерпретирована как бессоюзное сложное предложение с неполной второй частью: Синтаксис рассматривался учёным в его исторических изменениях на основе взаимосвязи главнейших грамматических категорий: [к ним относятся] слово, части речи, члены предложения и предложения.

Пунктуация зависит от того, есть ли в последней части повторяющийся союз и... и или мы имеем дело с двумя союзами и (первый соединяет части сложного предложения, второй – однородные члены затворница и комната).

Точно ответить на этот вопрос поможет проверка текста по печатному изданию, но мы предполагаем, что, скорее всего, речь идет о двух разных союзах, так что запятая перед и эта комната не требуется.