«Русский орфографический словарь» РАН (4-е изд., М., 2012) устанавливает дефисное написание: кросс-культурный.
Слово гаджет вошло в русский язык и уже зафиксировано академическим орфографическим словарем.
Слово апостроф пришло в русский язык из французского и сохраняет ударение языка-источника.
Корректно: Алст. Буквосочетание aa нидерландского языка передается на русский язык одиночной а.
Последняя словарная фиксация: дистрибьютор, южнокорейский (Русский орфографический словарь, 4-е изд., М., 2012).
Словарная рекомендация: восточнославянский. См.: Русский орфографический словарь / Под ред. В. В. Лопатина.
Воспользуйтесь ссылкой: Е. И. Литневская. Русский язык: краткий теоретический курс для школьников
Язык - многозначное слово. Можно говорить и "русский язык", и "русская речь".
Правильно написание без кавычек: единороссы (см.: Русский орфографический словарь РАН. М., 2007).