Подготовлен и направлен совместно с Петровым? Если оставить скобки, то запятая не ставится. Если скобки убрать, запятая нужна (но лучше переставить слова: Ивановым совместно с Петровым подготовлен...).

Можно. Различать наречие и вводное слово действительно в большинстве случаев непросто, поэтому окончательное решение вопроса о пунктуационном оформлении данного слова в предложении следует оставить за автором текста.

Запятая не нужна. Это предложение можно оставить без знаков препинания (не считая знака в конце предложения), а можно поставить тире: На вкус и цвет – каких только детских матрасиков нет...

Хоть топор вешай – о душном, прокуренном, дымном помещении. Буквально: воздух такой густой, что если в воздухе оставить топор, он не упадет, а останется висеть. Выражение основано на гиперболе (преувеличении).

Паронимы – однокоренные слова, близкие по звучанию, но разные по значению или частично совпадающие в своем значении. Например:  туристский и туристический, оплатить и уплатить, надеть и одеть, пометы и пометки.

Первые две части имеют параллельную структуру, что предполагает постановку тире. Перед второй частью заголовка уместно оставить двоеточие: Завтра — Восточное, потом — Некрасовка: график личного приема граждан для сел.

Действительно, это выражение может быть не всем понятно, мы рекомендуем заменить его. Если все же Вы решите его оставить, лучше написать в кавычках в два слова: проводить работы "на живую".

Наречие порой предполагает, что здесь нужно деепричастие несовершенного вида: не находя себе покоя порой. В целом по смыслу, возможно, следует оставить деепричастие не найдя и заменить слово порой каким-то другим словом.

Фактически Вы отвечаете на свой вопрос: наличие или отсутствие точки служит жанровым признаком. Что перед нами - анонс или подзаголовок? Ответом служит именно точка. Думаем, если сложилась такая ситуация в редакции, то нужно сформулировать для себя редакционные требования к композиции статьи и следовать им.