По основному правилу ставится двоеточие. Однако в художественных и публицистических текстах в таких предложениях двоеточие часто заменяют на тире.

После слова пребывания следует поставить тире или двоеточие. Выбор знака препинания зависит от контекста.

1. Ваш вопрос очень сложный, и дать однозначного ответа на него нельзя. С одной стороны, все слова, являющиеся прямой речью и цитатами, выделяются кавычками, перед ними ставится двоеточие. Однако в справочнике Д. Э. Розенталя указано, что подлинные выражения, вставленные в текст в качестве элементов предложения, заключаются в кавычки, но двоеточие перед ними не ставится. Приводятся такие примеры: Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься – ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана; С криком «Спасайте детей!» юноша бросился в горящее здание.

В то же время ниже в справочнике даётся такая рекомендация. Если перед подлинным выражением имеются слова предложение, выражение, надпись и т. п., то перед ними ставится двоеточие, например: Разберите предложение: «Сверкнула молния, и грянул гром». 

На наш взгляд, предложение, в котором содержится слово девиз, можно писать как следуя первой рекомендации, так и следуя второй рекомендации. Поэтому окончательное решение о постановке двоеточия принимает автор текста.

2. Первый вариант предпочтителен.

Возможны варианты пунктуации, например: Нужно сказать себе «стоп» и уехать на море; Нужно сказать себе «Стоп!» и уехать на море. 

Правильно: Так, модель дополнилась такими феноменами, как А, Б, В, Г и Д.

Двоеточие ставится. В данном случае "это" в роли указательного местоимения (подлежащего), а не в роли связки.

Уместно тире.

В данном случае вторая часть предложения указывает на причину того, о чем говорится в первой, поэтому предпочтительнее двоеточие. Однако тире допустимо.

Думаю, надеюсь, мне кажется -- это вводные слова и предложения, они выделяются запятыми.

Корректен первый вариант.