Очевидно, это интонационное тире, которое «ставится для указания места распадения простого предложения на словесные группы, чтобы подчеркнуть или уточнить смысловые отношения между членами предложения, когда другими знаками препинания или порядком слов нужный смысл не может быть выражен» (Д. Э. Розенталь. Справочник по русскому языку. Пунктуация. § 7).

Деепричастный оборот нужно обособить независимо от места расположения по отношению к глаголу (здесь на него «претендуют» два глагола — искать и добиваться, но на пунктуацию это не влияет): Он призывает каждого искать свой путь, не останавливаясь ни перед чем, добиваться поставленных целей, двигаясь все выше и выше.

Словари фиксируют только одно значение слова инфант: 'в Испании и Португалии при монархическом правлении: титул принца; лицо, носящее этот титул'; значения 'инфантильный человек' у слова инфант не отмечается. Поэтому с написанием без кавычек трудно согласиться: кавычки здесь как раз к месту (т. к. слово употребляется не в своем обычном значении).

Если прямая речь оказывается внутри слов автора, то она заключается в кавычки, а перед ней ставится двоеточие; прямая речь начинается с прописной буквы. После прямой речи ставится запятая, если она была необходима в месте разрыва вводящих слов автора: Не хочу, чтобы то говорила: "И всё?", когда мы разговаривали о нем.

Возможно разное написание. Если название употреблено как товарный знак (например, в надписи на этикетке, ценнике), оно пишется с большой буквы в кавычках. В бытовом употреблении названия блюд, десертов, соусов пишутся строчными без кавычек, например: мой любимый десерт – тирамису; к этому блюду надо добавить соус песто, он допил свою пинаколаду и ушёл.

Интонационное тире обычно не ставится в месте, где уже есть запятая, поскольку запятая сама по себе указывает на паузу.

В Вашем примере тире ставится перед обособленным определением по следующему правилу. Определения, стоящие в конце предложения, как нераспространенные, так и с зависимыми словами, могут отделяться знаком тире. Такие определения имеют пояснительно-уточняющее значение.

Слово пользование есть в русском литературном языке, но характерно скорее для деловой, канцелярской речи (ср.: пользование электроэнергией, разрешение на пользование оружием, взять землю в личное пользование, места общего пользования). Слово использование более нейтральное. Поэтому из двух приведенных Вами вариантов (верных с точки зрения грамматики) мы бы выбрали условия использования сайта.

Если ориентироваться на примеры, приведенные в параграфе 12.7 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя (В результате сила электромагнитного поля проходящих сигналов, а значит, и сила приёма  увеличиваются во много раз; Странный, если хотите — вызывающий  тон неприятно подействовал на окружающих), можно рекомендовать поставить в указанном месте либо запятую, либо тире.