Правильный вариант: Представляем генерального спонсора забега «Ласковый май» — девелоперскую компанию «Люди». Обратите внимание, что условное наименование мероприятия (забега) заключается в кавычки, а сочетание девелоперская компания пишется со строчной буквы.

В этом предложении действие, названное оборотом со словами исходя из, не соотносится с действующим лицом, что не предполагает обособления: ...для каждого был разработан свой план интеграции на рабочем месте исходя из индивидуальной программы реабилитации.

Форма макак зафиксирована в орфографическом словаре, который регулирует правописание. Толковые словари русского языка предлагают только форму макака. В тексте телевизионной передачи лучше использовать форму женского рода, в том числе в сочетании со словом самец.

При наличии в конструкции слов вместе, совместно употребляется форма единственного числа сказуемого: «организация Х» совместно с представителями Министерства финансов (обратите внимание: финансов со строчной) РФ рассмотрит список предложенных вопросов и обсудит их во время семинара.

Склонять название Диксон в сочетании со словом поселок не нужно. Препятствует склонению названия не то, что оно не вполне освоено, а то, что образовано от личного имени. Ср.: в поселке Артем, от поселка Ерофей Павлович.  

Словари рекомендуют написание: Пальма-де-Мальорка. Основной вариант названия города в русском языке – Пальма, со склонением этого слова проблем нет: из Пальмы, в Пальме. Если всё же использовать полное название, склонять следует только вторую часть: из Пальма-де-Мальорки.

Нормативно - с прописной буквы, в кавычках: «Твиттер», «Фейсбук», «Инстаграм». Но в бытовом употреблении возможно написание со строчной, без кавычек: фото в инстаграме, пост в твиттере.

См. также: http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=internet

Сказуемое в данном случае согласуется со словом общество (в том числе в составе аббревиатуры): ЗАО «Капиталбанк» заявило, ЗАО «Инвестторгбанк» утвердило, Закрытое акционерное общество «Инвестторгбанк» утвердило... Ср.: кинотеатр «Смена» организовал бесплатный сеанс (не кинотеатр «Смена» организовала).

В первом случае вводное слово не выделяется, так как входит в состав обособленного оборота. Во втором случае слова "по мнению" входят в состав предложения на правах члена предложения (сближаясь по значению со словами "по версии").

Валяющейся на полу – причастный оборот, но запятая не ставится, т. к. оборот связан по смыслу со сказуемым (смысл высказывания заключается не в том, что он обнаружил шинель, а в том, что шинель валялась на полу).