Прилагательное обозначает непринадлежность группы к числу пустых и должно писаться слитно с не (см. пункт 2 параграфа 148 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Удалить непустую группу.

Вы задали очень интересный и сложный вопрос. Он касается сферы, не поддающейся регламентации правилами, сферы, где всё решает вкус, эстетические соображения.

Действительно, правило о стилистическом употреблении прописной буквы открытое, определенного, конечного списка слов нет (и быть не может). Это делает возможным любое слово написать с прописной буквы, если пишущий придает ему особый высокий смысл. Однако стилистическое употребление прописной буквы должно быть обоснованным.

Надо отдать должное студенту за его знание правил орфографии, но можно объяснить ему, что особо высоким смыслом в русской речи наделяются слова, выражающие какие-то понятия духовной сферы. Написанные с прописной буквы Родина, Отечество, Отчизна, Свобода, Добро, Честь, Человек, Учитель, Мастер – это не просто слова, это духовные категории, особо чтимые человеком явления. Можно попросить студента объяснить, какой высокий смысл вкладывает он в слова расписание и календарь. Допустим (пофантазируем), он скажет, что вся жизнь его сейчас настолько определяется календарем и расписанием, что он сравнивает их с Конституцией, священным законом и чем-то подобным. Если объяснение будет убедительным, то стоит обратить внимание студента на то, что такое переосмысление значения допустимо не во всех стилях речи. Есть сферы (например, официальная письменная речь), где оно будет неуместно. Однако в личной неофициальной переписке, в художественной речи обоснованное написание с прописной буквы вполне возможно. Подобные стилистические тонкости русского языка не фиксируются орфографическими правилами, здесь работают общие законы стилистики.

Слово муза в значении 'источник поэтического вдохновения' пишется со строчной буквы. См. словарную фиксацию. Однако оно может писаться с прописной буквы в контекстах, где ему приписывается особый высокий смысл. Именно поэтому Вы встречаете это слово в разном написании. 

Неизвестна – краткое прилагательное. Не с краткими прилагательными может писаться и слитно, и раздельно – в зависимости от того, какой смысл нужно подчеркнуть. Раздельное написание подчеркивает отрицание (отрицается известность), слитное написание подчеркивает утверждение (утверждается неизвестность). Окончательное решение принимает автор текста.

Слово конкурс может писаться с большой буквы, например, если это первое слово официального названия. В данном случае нет оснований писать слово конкурс с большой буквы.

Мы также рекомендуем немного перестроить предложение: Предприятие проводит конкурс "Золотая осень" для детей сотрудников.

Такого слова в словарях нет. Если имеется в виду название медицинской организации, то писать его нужно так, как это делается в уставных документах. Если же говорить о гипотетическом нормативном написании сложносокращенного слова, то оно должно писаться слитно и строчными буквами: уропро.

Приведенное Вами наименование может писаться строчными буквами, ср.: факультет журналистики, кафедра общего языкознания, отдел культуры русской речи. Однако если в университете есть другие научно-исследовательские лаборатории и уже устоялось их написание с заглавной буквы, то новое название нужно писать по аналогии.

Сложные существительные, первая часть которых встречается только в составе сложных слов, могут писаться и через дефис, и слитно. Написание проверяется в словарном порядке (по орфографическому словарю). Ср.: далай-лама (нет слова далай), но кунсткамера (нет слова кунст). Поэтому написание фейсконтроль не нарушает орфографических законов.

В таком предложении предпочтительно поставить тире: Как не допустить наиболее распространенных ошибок в планировке и отделке ванной комнаты, предусмотреть все самое необходимое и не пытаться сэкономить на жизненно необходимых вещах – расскажет наша статья. Обратите внимание на форму сочетания: не допустить наиболее распространенных ошибок.