См. ответ доктора филологических наук М. Я. Дымарского на вопрос № 321750. Добавим, что слово просьба — примета разговорной речи. Объявления с ним обычно понимаются однозначно, но иногда могут толковаться самым различным образом (увы, авторы даже не подозревают об этом). Например, объявление Просьба нашедшего вернуть за вознаграждение может быть понято совсем не так, как это задумано автором. Фраза в брачном объявлении просьба женатых не беспокоить толкуется двояко. Вывод: предложения, в которых употреблен не глагол просим / прошу, а существительное просьба, могут оказаться некорректными с точки зрения лексических и грамматических норм русского языка.

Верно: в календаре какОм? составленнОм. Общее правило: нужно подобрать другое прилагательное с ударным окончанием (в какОм, в большОм, в именнОм; с какИм, с большИм, с именнЫм); в прилагательном с безударным окончанием будет писаться такая же гласная.

Дело в том, что в слове видео-конференц-связь первая часть видео- присоединяется к слову, в котором уже есть дефис (конференц-связь), поэтому не может писаться слитно.

А в слове фотовидеофиксация ни одна из частей не требует дефисного написания.

Если сочетание центральная судейская коллегия является официальным названием организации, подразделения то оно может писаться с заглавной буквы. Если территориальных судейских коллегий несколько, то данное сочетание слов является родовым наименованием и его нужно писать со строчной буквы. 

Прилагательное обозначает непринадлежность группы к числу пустых и должно писаться слитно с не (см. пункт 2 параграфа 148 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Удалить непустую группу.

Слово муза в значении 'источник поэтического вдохновения' пишется со строчной буквы. См. словарную фиксацию. Однако оно может писаться с прописной буквы в контекстах, где ему приписывается особый высокий смысл. Именно поэтому Вы встречаете это слово в разном написании. 

Неизвестна – краткое прилагательное. Не с краткими прилагательными может писаться и слитно, и раздельно – в зависимости от того, какой смысл нужно подчеркнуть. Раздельное написание подчеркивает отрицание (отрицается известность), слитное написание подчеркивает утверждение (утверждается неизвестность). Окончательное решение принимает автор текста.

Слово конкурс может писаться с большой буквы, например, если это первое слово официального названия. В данном случае нет оснований писать слово конкурс с большой буквы.

Мы также рекомендуем немного перестроить предложение: Предприятие проводит конкурс "Золотая осень" для детей сотрудников.

Такого слова в словарях нет. Если имеется в виду название медицинской организации, то писать его нужно так, как это делается в уставных документах. Если же говорить о гипотетическом нормативном написании сложносокращенного слова, то оно должно писаться слитно и строчными буквами: уропро.

Приведенное Вами наименование может писаться строчными буквами, ср.: факультет журналистики, кафедра общего языкознания, отдел культуры русской речи. Однако если в университете есть другие научно-исследовательские лаборатории и уже устоялось их написание с заглавной буквы, то новое название нужно писать по аналогии.