Склоняются оба слова: Дед Мороз, Деда Мороза, Деду Морозу...

При оборотах указанного типа, образованных сочетанием «именительный падеж плюс творительный падеж с предлогом с» сказуемое может стоять как в форме множественного, так и в форме единственного числа.

Форма множественного числа сказуемого показывает, что в роли подлежащего выступает все сочетание, т. е. действие приписывается двум взаимосвязанным равноправным субъектам, например: После обеда Лось с Русаковым пошли посмотреть склады и магазины (Т. Семушкин); Встали и Воропаев с Корытовым (П. Павленко).

Форма единственного числа сказуемого показывает, что подлежащим является только существительное в именительном падеже, а существительное в творительном падеже выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия, например: Граф Илья Андреевич в конце января с Наташей и Соней приехал в Москву (Л. Толстой); ...Пришел Разметнов с Демкой Ушаковым (Шолохов).

Выбор одной из двух возможных форм согласования сказуемого зависит от смысловой соотнесенности действия и его производителя. Иногда на решение этого вопроса влияет лексическое значение слов, входящих в сочетание, например: Мать с ребенком пошла в амбулаторию; Старший брат с сестренкой уехал в деревню. Ср.: И графиня со своими девушками пошла за ширмами оканчивать свой туалет (Пушкин).

В других случаях играет роль лексическое значение сказуемого, например: Мать с дочерью долго не могли успокоиться и вспоминали случившееся (оба действия могут производиться при равноправном участии субъектов действия); Коля с Петей поступили в одну и ту же школу; Брат с сестрой возвратились порознь. Ср.: Клычков с Чапаевым разъехались по флангам... (Фурманов).

Иногда играет роль порядок слов в сочетании. Ср.: Муж с женой пошли в театр. – Жена с мужем пошла в театр (обычно в рассматриваемых конструкциях при различной родовой принадлежности существительных на первом месте фигурирует более сильный в грамматическом отношении мужской род, например: отец с матерью, дед с бабкой, мальчик с девочкой; поэтому выдвижение на первое место существительного в форме женского рода подчеркивает его роль, а отсюда согласование с ним сказуемого).

Обстоятельство времени после каждого дождя не является общим для двух частей сложносочиненного предложения, потому что во второй части есть свое обстоятельство времени (следствия) тогда. Следовательно, запятая перед союзом и нужна.

Слово вотчина пишется со строчной буквы во всех случаях, когда оно употребляется в значении "родина" и не является частью имени собственного: вотчина Деда Мороза.  

Фраза кажется вычурной и непонятной. Думаем, стоит сформулировать мысль иначе.

Нет, фраза построена неудачно. Песни не могут быть подпеваемыми. 

Правилен второй вариант.

Запятая не нужна. Больше чем одна в этом случае значит 'больше одной'.

Такое слово словарями не фиксируется. В сложных словах часть спорт- рекомендуется писать слитно, поэтому правильно: спортанонс.

Верно: одна из черт, свойственных герою.