Слово велнес недавно заимствовано русским языком и еще только осваивается им, словарями оно пока не зафиксировано. Поэтому сейчас вряд ли возможно дать какие-либо однозначные рекомендации (обязать склонять или запретить склонять). Можно лишь отметить, что под влиянием близкого ему фитнеса, заимствованного раньше и уже вполне освоенного языком, слово велнес всё чаще выступает как склоняемое, хотя и вынуждено пока преодолевать некий барьер восприятия.

Это название нельзя в настоящее время отнести к числу освоенных русским языком, поэтому об окончательном написании говорить пока рано. Однако следует принять во внимание, что испанский этимон представляет собой раздельно пишущееся словосочетание и в русскоязычном интернет-узусе встречается именно такое написание, см. в Википедии:

Олья подрида (исп. olla podrida, букв. — «гнилой горшок»). 

Так что оснований для употребления дефиса пока не наблюдается.

Это недавно заимствованное слово еще не зафиксировано в словарях русского языка. Оно пока только осваивается языком, поэтому «правильного» и «неправильного» варианта пока нет. Сравните: слово пиццерия в русский язык пришло гораздо раньше, но варианты ударения пиццерия и пиццерия даны в современных словарях как равноправные, т. е. язык еще не сделал выбор.

Вы можете спросить у шоколатье, как он сам произносит это слово, и использовать выбранный им вариант.

Это слово пока не зафиксировано в нормативных словарях русского языка, поэтому нет «правильного» и «неправильного» варианта. Слово продолжает осваиваться языком.

Пока можно предложить писать слитно, руководствуясь общим правилом: сложные существительные с иноязычной первой частью, оканчивающейся на гласную и самостоятельно не употребляющейся (ведь баба здесь не то же самое, что русское слово баба), пишутся слитно, ср.: нотабене, сноуборд, сушеф и др.

Невозможно игнорировать тот факт, что у слова онкология в современном русском языке появилось новое значение — 'онкологическое заболевание', пусть оно и воспринимается пока как примета разговорной речи. Это значение действительно не зафиксировано пока в нормативных словарях русского языка. Но из этого совершенно не следует, что такое употребление слова онкология ошибочно. Скорее стоит признать, что словари, как это часто бывает, запаздывают с фиксацией нового значения слова.

Мы не выполняем домашние задания. 

Ваш вопрос очень интересный и важный, потому что история слова входит в комплекс факторов, на основании которых лингвисты определяют норму написания. Слово пока не зафиксировано академическим орфографическим словарем (оно, конечно, сниженное, но словарь фиксирует и такие слова). Изучение его истории требует времени. Мы сможем дать ответ на Ваш вопрос после исследования. А пока отметим, что предварительная рекомендация орфографистов — писать это слово слитно. Один из факторов, влияющих на написание слова, — аналогия с синонимичным и однокоренным похоже.

Да, эти названия уместно заключить в кавычки.

Возможны варианты (раздельно - при подчеркивании отрицания).

Прилагательное евина нужно писать с маленькой буквы.