В этих примерах деепричастный оборот имеет значение образа действия, тесно связан по содержанию со сказуемым и образует смысловой центр высказывания. Подобные деепричастные обороты не обособляются (см. примечание 1 к параграфу 20.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя): необходимо использовать не касаясь руками; ...позволяет пользоваться тряпкой не касаясь руками (важно не то, что тряпкой пользуются, а то, каким образом пользуются).

Существительное заначка образовано от глагола заначить и обозначает: 1) нечто прибереженное, спрятанное, убранное про запас, то, что может быть использовано, израсходовано в будущем; 2) место, где нечто спрятано, убрано от других, хранится про запас, на будущее. Предложное сочетание в заначке может выражать наречное значение признака (образа, способа) действия, состояния или предмета: хранить в заначке, быть в заначке, деньги в заначке.

В этом предложении деепричастие сохраняет значение глагольности, обозначая дополнительное действие (= «нахмурился и подошел к окну»), и должно быть обособлено: ...мужчина, нахмурившись, подошёл к окну... Сравним это же деепричастие в другом контексте: Мужчина смотрел нахмурившись (деепричастие имеет значение образа действия и сближается по смыслу с наречием). Отметим, что нагромождение деепричастий и деепричастных оборотов в приведенном Вами предложении выглядит стилистически неудачным.

В этом предложении деепричастие обозначает дополнительное действие и не несет в себе значение обстоятельства образа действия, в отличие от примеров типа Жили Артамоновы ни с кем не знакомясь или Старик шёл прихрамывая на правую ногу (см. примечание к параграфу 20.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя), что говорит о необходимости постановки запятой: ...никогда не выеду за ворота автопарка, не помолившись.

Указанное сочетание не является устойчивым оборотом, оно употреблено в своем прямом значении, так что запятая нужна: По дороге ни в ту, ни в другую сторону нам не встретилось ни единого автомобиля.

Сравним случаи употребления сочетания ни туда (,) ни сюда: Поезда не ходили ни туда, ни сюда (сочетание употреблено в прямом значении) — Юле неудобно было кричать на всю улицу, поэтому крик вышел ни туда ни сюда — не нахальный, но и не деликатный (сочетание является устойчивым и значит «без характерных свойств»); ...он вдруг замер, как парализованный. Ни туда ни сюда (сочетание является устойчивым и значит «не будучи в состоянии делать что-либо»).

Добавим, что пропуск запятой в сочетаниях с повторящимся союзом, в которых образуется тесное смысловое единство, возможен, если это союз и (см. параграф 13.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя).

Большой толковый словарь

В данном предложении конструкция "в соответствии с определением видного ученого-экономиста Л. И. Абалкина" не является вводной, а выполняет функцию обстоятельства образа действия. Запятая перед словом "экономическая" не требуется, однако ее постановка не будет ошибкой, так как для смыслового выделения или для попутного пояснения могут обособляться обстоятельства, выраженные существительными в формах косвенных падежей (обычно с предлогами), особенно если при этих существительных имеются пояснительные слова. 

Первое предложение будет иметь разный смысл с запятой и без нее: 1) Восток без звёзд, в сиянье (описание востока сейчас, в момент речи); 2) Восток без звёзд в сиянье (= «Если восток без звезд, то он в сиянье»).

Во втором предложении запятая необходима: обстоятельства нежно и с тревогой однородны — являются обстоятельствами образа действия (отвечают на вопрос как?), причем оба обозначают эмоциональное состояние.

Надпись представлена как подлинное выражение, включённое в текст, поэтому её точно нужно заключить в кавычки. Другой вопрос, требуется ли перед ней двоеточие. В примечании к параграфу 50 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя приводятся, с одной стороны, примеры типа Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана, с другой — примеры типа Мимо станции проносились скорые поезда с табличками на вагонах: «Москва — Владивосток». Там же отмечено, что двоеточие ставится, если перед подлинным выражением имеются слова предложение, выражение, надпись и т. п. Но, судя по всему, дело в другом: в примерах с двоеточием подлинное выражение, включённое в текст, завершает собой предложение, в примерах без двоеточия — находится в середине предложения. Таким образом, корректно будет такое оформление: На столе стояла кружка с надписью: «Маме», но Кружку с надписью «Маме» кто-то убрал со стола.

Выражение как по команде, выполняющее фукнцию обстоятельства образа действия, фразеологическое, оно синонимично наречию разом и само по себе не требует обособления. Находясь в конечной позиции, оно, как и любой другой второстепенный член, может приобретать характер присоединительной конструкции; смысловым центром предложения в этом случае будут сказуемые обернулись и поклонились, а обстоятельство как по команде будет нести добавочную информацию. Такие конструкции отделяются тире:  Ребята обернулись и поклонились — как по команде.