Правильно: попугай Кеша (ср.: кот Васька, собака Каштанка). Слово попугай не является частью имени. 

Воспользуйтесь, пожалуйста, «Письмовником».

Правильно: Мах, -а: число́ Ма́ха, у́гол Ма́ха.   

При передаче на письме разговорного стиля речи корректно написание со строчной буквы без кавычек: айфон.

Предлог со фонетически закономерен перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласная] или с согласной [щ]: со ста, со славой, со звездой, со шкафа, со жгутом, со щами. Поэтому: со зверем, но с зайцем.

Также предлог со употребляется перед формами с начальными сочетаниями [л, ль, р, м] + согласная: со лба, со мной, со льдом, со ртом; также перед сочетаниями [в] + согласная: со вторника, со всеми, со второго.

Корректно: со вступившим.

В данном случае запятая после слова союзники не требуется, потому что союзом и соединяются однородные придаточные части (каждая из них начинается с союзного слова который). 

Вариант изо льва соответствует правилам, но встречается редко, ср.: ...а человечье торчит изо льва, во все стороны мельницей ходит (А. М. Ремизов, 1952). Десять русских предлогов имеют варианты с о (т. н. вокализованные) — без, в, из, к, над, об, от, под, перед, с. Употребление вокализованных вариантов описывается длинным набором условий, но лишь в немногих случаях оно является строго обязательным (как, например, в сочетаниях с падежными формами местоимения я, начинающимися с двух согласных, — ко мне, со мной, надо мной, обо мне и др.). Употребление вокализованных вариантов в русском языке сокращается, при этом их появление более вероятно в высокочастотных сочетаниях и менее вероятно — в низкочастотных. Поэтому в речи более вероятны сочетания со львом, ко льву (как относительно распространенные) и гораздо менее вероятно сочетание изо льва (как редкое). Об употреблении предлогов типа ко, со см. также в «Письмовнике».

Литературной норме современного русского языка соответствует употребление предлогов в – из: в телецентр, из телецентра.

В "Письмовнике".

Это предлог.