Чтобы записать правильно это новое слово, можно воспользоваться общей рекомендацией орфографического словаря.
Назначить на должность, но предложить должность. Уточнить особенности употребления слова должность можно с помощью словарей русского языка, в том числе и словарей, размещенных на нашем портале.
Верно: как сказал да Винчи.
Корректно без кавычек. Сочетания голубые, зелёные, чёрные, красные... береты (в значении 'o разных воинских подразделениях') зафиксированы словарями русского языка. Они уже не являются новыми, необычными.
«От него» является дополнением.
Кавычки уместны: они предупредят читателя об употреблении слов в особом, необычном значении.
Вопросительный знак может ставиться или не ставиться в зависимости от интонации. Решение принимает автор текста.
Следует склонять каждое слово: Джаганатхана Габриеля, Джаганатхану Габриелю и т. д.
Ставится тире с пробелами.
Сложный вопрос. С одной стороны, географические и административно-территориальные названия пишутся без кавычек. С другой стороны, именно в таком – необычном – названии кавычки могут быть уместны: они подскажут читателю (особенно незнакомому с топонимикой Новосибирска), что «Щ» – это не какое-либо сокращение или зашифрованное наименование (ср.: микрорайон Щ и уездный город N), а самое что ни на есть настоящее название.
Итак, можно дать следующую рекомендацию. Написание без кавычек нормально в изданиях, которые адресованы читателю, знающему, что такое микрорайон Щ (например, в районной газете, если таковая существует). В остальных случаях кавычки лучше поставить.
