Это не так. Слово медведь образовано от основ мед и *ěd- (т. е. не «мед + ведать», а «мед + есть»; в появилось в этом слове позднее) и буквально означало 'поедатель меда'. См. «Этимологический словарь русского языка» М. Фасмера.

Если это прилагательное образовано от названия Старый Саров, то нужно писать слитно: старосаровский. Его написание подчиняется правилу: пишутся слитно прилагательные, образованные из основ слов, отношение между которыми носит подчинительный характер, напр.: железнодорожный (железная дорога), каменноугольный (каменный уголь) и др.

В приведенном предложении общим обстоятельством для двух грамматических основ является оборот с предлогом по завершении (не сам по себе предлог), а потому запятую действительно ставить не нужно: По завершении всех испытаний прозвучит поздравление от ведущего и будет объявлен победитель.

Словарями это прилагательное не зафиксировано, однако все сложные прилагательные с первой частью народно- пишутся через дефис, несмотря на подчинительное соотношение основ: наро́дно-трудово́й, наро́дно-хозя́йственный, наро́дно-этимологи́ческий и др. Так что рекомендуем также писать через дефис: народно-латинский.

В русском языке нет сложного прилагательного, образованного на базе этих слов. Сложные прилагательные со вторым компонентом -подобный, имеющие значение ‘похожий на то, что названо первым компонентом’, образуются от бессуфиксных основ существительных, например мужеподобный, звероподобный, обезьяноподобный, громоподобный и т. п.

Оперативно значимая пишется раздельно потому, что это сочетание наречия и прилагательного: значимая (с какой стороны? в каком плане?) оперативно. Сложные прилагательные оперативно-служебный и оперативно-поисковый пишутся через дефис потому, что в них сочинительное отношение основ: оперативный и служебный, оперативный и поисковый.

Официально по-прежнему действуют «Правила русской орфографии и пунктуации» 1956 года. Но многие рекомендации, сформулированные в этом своде, сейчас явно устарели и противоречат современной письменной норме. В том числе это касается и написания наименований, связанных с религией. Ясно, что предписания, сформулированные в отношении этих слов в 1956 году, были не свободны от идеологических установок, снятых в последние два десятилетия.

Современные нормы таковы. С прописной буквы пишется перове слово и собственные имена в названиях религиозных праздников: Пасха Христова, Рождество, Прощеное воскресенье; Курбан-Байрам, Рамазан, Навруз, Ханука, Шаббат и др. С прописной буквы пишутся и народные названия некоторых дней и периодов, связанных с церковным календарем: Масленица, Святки, Яблочный Спас и др.

Рекомендуем Вам пользоваться следующим справочником: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К Прописная или строчная? Орфографический словарь. М.: Эксмо, 2007.

1. Правила написания сложных прилагательных в своде 1956 года, на который Вы ссылаетесь, не точны. Они были существенно дополнены в ходе исследований второй половины ХХ — начала ХХI вв. Правила, с большей точностью отражающие нормы письма, Вы можете прочитать в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря». Написание слов корково-мостовой, крышемостовой, корково-ретикулярный соответствует правилам. 

2. Слова спиновокругводопроводный, тройнично-таламо-корковый, тригемино-цервико-солитарный следует отнести к словарным, пишущимся по традиции, сложившейся в профессиональном языке. 

3. Корректно дефисное написание: лекарственно-индуцированная.

При выборе написания нужно следовать рекомендациям орфографического словаря. Слова приемо-сдаточный и приемо-передающий  как прилагательные с сочинительным отношением основ (прием и сдача) и без суффикса в первой части относятся к словарной области написания. Правило можно посмотреть в справочнике ресурса «Орфографическое комментирование русского словаря».