Поскольку в России День защитника Отечества — государственный праздник, его написание регламентируется не только словарями, но и официальными документами. В частности, именно такая форма указана в "Справочнике по оформлению нормативных правовых актов в Администрации Президента Российской Федерации".

Вероятно, название праздника, которое официально закреплено на территории Республики Беларусь, немного отличается от российского названия.

Грамматически обе формы возможны.

Географическое определение пишется с прописной буквы, только если входит в состав официального названия, например: Ростовский государственный университет. Правильно поэтому: ростовский аэропорт (т. к. официальное название: ОАО «Аэропорт Ростов-на-Дону»). Что касается Ростовского зоопарка, то, судя по источникам в Интернете, его официальное название именно таково (Ростовский зоопарк, МУП «Ростовский зоопарк»), а значит, здесь правильно написание с прописной.

Склоняются обе части при таком написании: в государственном учреждении – Челябинском региональном отделении Фонда социального страхования Российской Федерации.

В начале предложения или заголовка Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение следует писать с прописной буквы, в середине предложения это сочетание пишется со строчной: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение.

См. 284981.

Названия мероприятий со словом неделя пишутся без кавычек, так как не выделяются кавычками собственные наименования, если они не имеют условного характера (например, Российский государственный гуманитарный университет, Московский театр кукол, Институт языкознания Российской академии наук). У слова неделя фиксируется значение 'семидневный промежуток времени, посвящённый чему-л., какому-л. событию'. Ср. с названиями, закрепленными в словаре. В сочетании названия (как несклоняемого приложения) с родовым словом кавычки уместны.

Дело в том, что в число "названий учебных заведений" входят разные типы наименований. Некоторые из них требуется писать (вернее, начинать) с прописной буквы - например, полные и краткие официальные названия высших учебных заведений: Московский государственный университет. В названиях общеобразовательных школ с прописной буквы пишутся только заключаемые в кавычки элементы условного наименования: средняя школа "Лига школ", школа "Интеллектуал" и т. д.

Правильно написание строчными. Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с прописной буквы, если они являются частью составных наименований – географических и административно-территориальных, индивидуальных имен людей, названий исторических эпох и событий, учреждений, архитектурных и др. памятников, военных округов и фронтов. В остальных случаях они пишутся со строчной буквы. Ср.: Курская область, Курский государственный драматический театр имени А. С. Пушкина, но курская поэтесса, курские улицы.

Да, кавычки в таких случаях ставятся: Государственное специальное (коррекционное) образовательное учреждение для обучающихся, воспитанников с отклонениями в развитии «Специальная (коррекционная) общеобразовательная школа-интернат», Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 6», Государственное образовательное учреждение для детей, нуждающихся в психолого-педагогической помощи «Краевой центр психолого-социального сопровождения».

В пишущихся через дефис прилагательных, образованных от географических названий, обе части пишутся с прописной буквы, если эти прилагательные начинают собой наименования –  географические и административно-территориальные, наименования исторических событий, учреждений, памятников и т. п., например: Западно-Сибирский металлургический комбинат, Санкт-Петербургский государственный университет, Орехово-Зуевский педагогический институт, Нью-Йоркский филармонический оркестр, Алма-Атинский метрополитен. В остальных случаях они пишутся строчными. Правильно: алма-атинские истории (в середине предложения), Алма-атинские истории (в начале предложения). В названии книги: «Алма-атинские истории».