Запятая ставится.
Вероятно, опубликовать?
Такую проверку можно назвать исторической, так как указанные Вами слова не являются в современном русском языке однокоренными, но они исторически родственные. См. об этом здесь.
Запятая не ставится.
Запятая нужна.
Буква Е в прилагательном коллекционный проверяется словом коллекция.
Слово огнеборец стало фиксироваться словарями совсем недавно. Оно образовано по известной языку модели (ср.: богоборец, змееборец, иконоборец), активно употребляется в значении 'пожарный' и в СМИ, и в художественной литературе. Смысловая связь слов понятна: пожарный — тот, кто борется с огнем, огнеборец. Запрещать употребление слова огнеборец как синонима к слову пожарный нет оснований.
После проекта следует поставить запятую или тире.
Да, это вводное сочетание, обособление необходимо. Подробнее см. в «Справочнике по пунктуации».
Корректно с запятой.
