Сегодня правильно: оперативно-разыскная. Здесь раз- – приставка, а правило таково: в приставке раз-  (рас-) / роз- (рос-)  в безударной позиции пишется а, хотя под ударением – только о, ср.: раздать, но розданный; расписать, расписной, но роспись; разливать, разливной, но розлив; разыграть, разыгранный, но розыгрыш. Подробнее об этом слове см. в разделе «2razysknoj/">Азбучные истины».

Из "Полного академического справочника" под ред. Лопатина:

"§ 219… Факультативное правило. При переносе может потеряться различие между написаниями слов слитно и через дефис; ср.: военно-обязанный (пишется военнообязанный) и военно-морской (пишется военно-морской). Для сохранения различия надо во втором случае повторить дефис в начале перенесенной части: военно- / -морской. Это правило применяется по желанию пишущего".

В словах, образованных от буквенных аббревиатур с помощью суффиксов, аббревиатурная основа записывается по названиям букв: бэтээр (от БТР), кагэбэшник (от КГБ), гэбист (от ГБ), гэрэушник (от ГРУ). См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006.

Слова кагэбэшник, гэбэшник, гэрэушник имеют разговорную стилистическую окраску.

Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под ред. С. А. Кузнецова, репортаж – сообщение или рассказ о текущих событиях, комментарий к происходящему (в печати, по телевидению, радио). Иными словами, репортаж – сообщение о событии, но не обязательно с места этого события. Сочетание репортаж с места событий корректно и зафиксировано словарями русского языка.

В чем нужно помочь разобраться, какие трудности возникли? За толкованием Вам лучше всего обратиться к серьезной книге по грамматике, например к академической "Русской грамматике" (М., 1980) или к вузовскому учебнику (например, "Современный русский язык" под ред. проф. В. А. Белошапковой). Кроме этого, можно обратиться к любому онлайновому словарю лингвистических терминов.

В этом бессоюзном сложном предложении по основному правилу ставится двоеточие, поскольку вторая часть поясняет то, о чем говорится в первой. См. пункт 1 параграфа 129 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.); в примечании к этому параграфу указано, что допустимо вместо двоеточия поставить тире.

Если деепричастный оборот открыв рот используется не в буквальном, а в переносном смысле ('изумленно, удивленно'), он имеет значение обстоятельства образа действия и не обособляется. Об условиях необособления деепричастных конструкций, см., например, параграф 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Дело в том, что словарь В. И. Даля не относится к нормативным — недаром он носит название словаря "живого великорусского языка". Тогда как словарь под. ред. Д. Н. Ушакова нельзя отнести к современным, покольку он создавался  с 1934 по 1940 год. Отвечая Вам, мы ориентровались на современные нормативные словари. 

Регулярно встречается беглый гласный, обозначаемый буквой и: лисий — лисья, копьё — копий и т. п. Возможны аномальные случаи, например беглый гласный, обозначаемый буквой я, в слове заяц (закономерным было бы написание *заец). См. об этом подробнее в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.