Правила написания корня с чередованием -зор-(-зар-) не изменились, а изменилось написание слова зарянка. См. ответ на вопрос № 284176.
Оба варианта допустимы.
Да, здесь должно быть с прописной: Пушкинский Дом. Исправлено. Спасибо за замечание!
В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».
Запятая между ученым званием и должностью не требуется: юбилей члена-корреспондента РАН, доктора исторических наук директора института Иванова.
Сербское мужское имя Коста склоняется: в родительном — Косты, в дательном — Косте, в винительном — Косту, в творительном — Костой, в предложном — о Косте.
В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова, а также в «Словаре морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Е. Ефремовой в слове закладка выделен корень -клад- (за-клад-к-а). Это результат анализа морфемного состава слова (разбор слова по составу в школьной терминологии).
Также это слово фиксируется в словообразовательных словарях разного объема, включая большой двухтомный «Словообразовательный словарь русского языка» А. Н. Тихонова. Этот словарь отражает не полный морфемный состав слов, а только их словообразовательные связи и словообразовательные средства, использованные при образовании каждого производного слова; в заголовке (вершине) словарной статьи словообразовательного словаря находится непроизводное слово, далее указываются словообразовательные цепочки, демонстрирующие образование всех слов, входящих в словообразовательное гнездо. В «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова показано, что слово закладка образовано с помощью следующей словообразовательной цепочки: класть → за-класть (приставочный способ) → заклад-ыва-ть (суффиксальный способ) → заклад (бессуфиксный способ) → заклад-к-а (суффиксальный способ). В каждом производном слове, входящем в словообразовательное гнездо, выделяются морфемы, с помощью которых оно образовано; полное морфемное членение слов отсутствует. Например, в глаголе закладывать указаны только границы суффикса -ыва-, а граница между приставкой и корнем ― нет. По этой же причине не указана морфемная граница между приставкой за- и корнем -клад- в словах заклад и закладка, хотя эта граница есть.
Возможно, в задании было предложено выполнить словообразовательный, а не морфемный разбор слова закладка. При словообразовательном разборе необходимо установить, от какой производящей основы и с помощью какого словообразовательного средства образовано данное производное слово; полное членение производящей основы на морфемы не производится. В таком случае заклад — это производящая основа, производная — заклад-к-, словообразовательное средство — суффикс -к-(заклад → заклад-к-а).
Для правильного морфемного и словообразовательного разбора слов надо знать принципы этих типов анализа (разделы «Морфемика» и «Словообразование» в школьной программе). Для проверки следует использовать морфемные и словообразовательные словари. Чтобы понимать, каким образом информация о структуре слова представлена в том или ином словаре, перед использованием словаря необходимо внимательно ознакомиться с теоретическими принципами строения словаря и особенностями структуры словарных статей.
Слово котел уже в Малом академическом словаре 1982 г. зафиксировано в значении 'полное окружение (больших групп войск)'. Поэтому кавычки не нужны. По правилу о написании прилагательных с суффиксом -ск- первое слово следует писать со строчной буквы: дебальцевский котел.
