В этих примерах деепричастный оборот имеет значение образа действия, тесно связан по содержанию со сказуемым и образует смысловой центр высказывания. Подобные деепричастные обороты не обособляются (см. примечание 1 к параграфу 20.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя): необходимо использовать не касаясь руками; ...позволяет пользоваться тряпкой не касаясь руками (важно не то, что тряпкой пользуются, а то, каким образом пользуются).
Да, это условное название, кавычки нужны: карта «Тройка», записать билет на «Тройку».
Корректно с запятыми: В сундуке, кроме толстого слоя пыли и старых тряпок, ничего не оказалось. Сейчас рекомендуется выделять запятыми обороты с предлогом кроме независимо от значения предлога.
Запятая нужна: она поставлена перед придаточной частью сложноподчиненного предложения.
Верно: труппа покажет балеты "Отелло" и "Третья симфония Малера".
Для написания с прописной буквы нет оснований. Корректно: «большая тройка» операторов сотовой связи.
Тире в этой позиции (после придаточной части, стоящей перед главной) корректно.
Эти словосочетания корректны.
Запятая нужна, это сложносочиненное предложение.
