Второй и при этом лучший? Не логично.
Да, здесь действительно уточнение: поскольку наречие досрочно значит «ранее установленного срока», оно является обстоятельством времени, как и указание даты; второе обстоятельство конкретизирует первое.
Правильно: (учиться, преподавать) на каком-либо отделении.
Корректно: предшествующего. Вероятно, речь идет о второй половине, а не второй середине века?
После слова пребывания следует поставить тире или двоеточие. Выбор знака препинания зависит от контекста.
Запятые нужны: У меня будет день рождения на следующей неделе, в понедельник, 5 декабря.
Первый вариант некорректен. Верно: ненавижу и первое, и второе.
Возможны оба варианта, но чаще используется форма единственного числа. См. подробнее в «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя и др. (§ 194).
