Формулировка девиза представляет собой бессоюзное сложное предложение. Параллелизм строения частей позволяет увидеть в нем сопоставительные отношения, действительно выражаемые с помощью тире (см. пункт 1 параграфа 130 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Заметим, однако, что сказуемые вечно и бесконечно синонимичны (сравним словарное толкование прилагательного вечный: «бесконечный по времени»), то есть лексический состав частей не предполагает сопоставления.

Выражение семейная династия содержит ошибку речевой избыточности  (плеоназм). См.: 

Большой толковый словарь русских существительных

ДИНАСТИЯ, -и, ж. Перен. Ряд представителей разных поколений одного рода, занимающихся каким-л. общим ремеслом, работающих по одной специальности и передающих от поколения к поколению мастерство, трудовые традиции. Надеюсь, вы меня слышите и готовы подтвердить, что в отличие от нынешнего поколения революционеров вы собираетесь восстановить и продолжить градовскую династию врачей! (В. Акс.).

Между нарицательными именами существительными, сочетание которых выполняет определительную функцию при имени существительном (в данном случе цикл), ставится тире: система человек — машина; отношения учитель — ученик; проблема производство — человек — природа (см. параграф 20 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Добавим, что подобные сочетания не требуется заключать в кавычки: цикл рождение — жизнь — смерть.

На неправильное написание *придти влияют и формы этого глагола (приду, придешь и др.), и наличие слова идти. Кроме того, кто-то мог видеть такое написание в старых книгах: оно встречалось до 1956 года, когда были приняты официально действующие и сейчас «Правила русской орфографии и пунктуации». Нормативное написание прийти установлено для того, чтобы на письме сохранялось единство морфемы, ср.: уйти, зайти, выйти, сойти и др.

В данном случае вводное сочетание самое главное, образующее единство с союзом а, отделено от последующей части предложения с помощью тире. Такая постановка знаков препинания не регламентирована справочниками, однако не противоречит принципам русской пунктуации, и ее невозможно назвать ошибочной. Обратите внимание, что первую часть союза не только... но и... нужно поместить перед первым сказуемым: Оно не только станет лучше, но и вернет свою изначальную прочность...

В академической «Русской грамматике» 1980 г. слово зато, наряду со словами ведь, иначе, поэтому и многими другими, отнесено к «аналогам союзов», которые могут выполнять союзную функцию. В параграфе 1673 читаем: «Многие из таких аналогов широко употребительны в качестве конкретизаторов при семантически недифференцированных союзах: и вдобавок, да еще, а значит, и наоборот, а потому, а следовательно, но зато, но только, или иначе». 

Обособление нужно: деепричастный оборот, находящийся после союза или союзного слова, отделяется от него запятой (союзы не включаются в деепричастный оборот). Правило приведено в параграфе 68 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.). Об обособлении деепричастного оборота после союза в начале предложения см. «Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, параграф 20.2.

Случаи связи словосочетания и простого предложения с помощью союза и (а здесь именно такой случай) в справочниках по русской пунктуации не кодифицированы. В практике письма запятая обычно не ставится, что логично: простое предложение (в данном случае как их избежать) приравнивается по функции к слову (словосочетанию), а если два слова (словосочетания) соединены союзом и, запятая перед ним не ставится. Сравним: Частые ошибки новичков и способы их избежать.

Правописание приставки чрез- подчиняется общему правилу правописания приставок на з/с, см. § 82 «Правил русской орфографии и пунктуации». Приставки без-, вз-, воз-, из-, низ-, раз- (роз-), через- (чрез-) пишутся по особому правилу: перед буквами, передающими глухие согласные (к, п, с, т, ф, х, ц, ч, ш, щ), в них пишется буква с, а в остальных случаях — буква з, напр.: череззерница, чрезмерный.

Русской пунктуационной норме соответствуют оба варианта каждого из предложений — с запятой и без: 1) Встреча состоится завтра в 19:00; Встреча состоится завтра, в 19:00; 2) Мы встретимся завтра в 10 утра; Мы встретимся завтра, в 10 утра. Подробнее см. ответ на вопрос № 318421.

О том, какие факторы учитывать при решении, является ли слово (сочетание) уточняющим, см. ответ на вопрос № 316641.