Корректно: Дети отвечают на вопрос: «Кем ты хочешь стать в будущем?», и они отвечают: «Мы хотим стать смелыми, мужественными, сильными».

Правила оформления прямой речи можно найти в справочнике Д. Э. Розенталя, раздел «Пунктуация».

Запятые нужны, а вот кавычки излишни. Ср. с примерами из «Справочника по пунктуации» Д. Э. Розенталя: Электронные лампы, или, как их правильнее называют, электровакуумные приборы, изготовляются разного назначения; Эту историю мне рассказал один писатель, или, как он сам предпочитает себя называть, новеллист.

Возможны оба варианта. Об употреблении форм прилагательных можно прочитать, например, в «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой.

Числительные, оканчивающиеся на один, обычно требуют формы единственного числа сказуемого. Однако в некоторых случаях возможна и форма множественного числа. Д. Э. Розенталь приводит такие примеры: 

Двадцать один делегат встретились за круглым столом (сказуемое-глагол встретились указывает на взаимное действие, которое выражается формой множественного числа); 

Двадцать один ящик с посудой, которые были доставлены на базу, попали туда по ошибке (влияние придаточного предложения с союзным словом которые в форме множественного числа); 

За все уплачено 231 рубль (при формальной роли подлежащего счетный оборот имеет значение обстоятельства меры в страдательной конструкции); 

Двадцать один студент не явились на экзамен (эмоционально окрашенный разговорный вариант, подчеркивающий количество отсутствовавших).

Справочные пособия рекомендуют согласовывать с родовыми наименованиями названия озер и островов, выраженные полными именами прилагательными. См. «Справочник по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя (раздел «Согласование определений и приложений», параграф «Приложения – географические названия») и «Словарь географических названий» А. В. Суперанской (М., 2012).

Запятая не нужна. Подобные случаи соединения причастного оборота и деепричастного приводит Д. Э. Розенталь: Кучер, спавший опершись на локоть, начал пятить лошадей (Гонч.); Даже и Ласка, спавшая свернувшись кольцом в краю сена, неохотно встала (Л.Т.)

Это предложения разговорной речи. Д. Э. Розенталь писал, что при пунктуационном оформлении текстов разговорной речи возникают различные трудности. «В некоторых случаях представляется возможным находить какие-то соотношения между конструкциями разговорной речи и конструкциями речи книжной (кодифицированного литературного языка), проводить аналогию между теми и другими; иногда такое сопоставление невозможно и приходится искать особые критерии для решения вопроса о знаках препинания в текстах разговорной речи. Чаще всего пишущие опираются на интонацию». Он приводит такие близкие к Вашему примеры: 

А кино, что, сегодня не будет? — А кино, что? сегодня не будет?

Еще Д. Э. Розенталь писал о том, что запятой отделяются слова что, а что, что же, обозначающие вопросы, например: Что, если я кликну клич? (Т.) («что будет, если…»); А что, если он прячется в глубине лесов? (Каз.); Что, если в самом деле он [городничий] потащит меня в тюрьму? (Г.); Что, ему лет двадцать пять, не больше? (Л.Т.), и что в некоторых подобных случаях возможны пунктуационные варианты в зависимости от значения, которое вкладывается в местоименное слово, ср.:

Ты что же не идёшь с нами? («почему»). — Ты что же, не идёшь с нами? («что делаешь?», пауза после что же).

Полагаем, что и в Вашем примере возможны интонационные варианты, следовательно и варианты пунктуационного оформления.

Это новое слово и для нашей орфографии (то есть для удобства пишущих) желательно, чтобы оно, если останется в языке, подчинилось правилам. А правило таково.

В простых (не сложных) иноязычных словах буква е пишется после гласных букв и, е независимо от произношения — с [j] или без него, напр.: абитуриент [э], ариетта [э], аудиенция [э], градиент [э], диета [э] и [jэ], ингредиент [э], клиент [э] и [jэ], коэффициент [э], пациент [э], регредиент [э], реестр [э], реципиент [э], риелтор, симфониетта [э]. Пишется также е в словах проект и производных проектировать, проекция, проектный (нормативным считается произношение [э] без йотации), интервьюер, траектория, фаер, флаер («листовка»), фраер, ваер, вьюер, туер, буер, элюент. В остальных случаях, в том числе в начале корня в сложном слове, пишется буква э, напр.: инфлюэнция, пауэрлифтинг, полиэтилен, силуэт, статуэтка, тауэр, тетраэдр.

Торговые центры — это организации. Условные названия различных организаций, предприятий, фирм, банков и т. п. заключаются в кавычки.

Правилами русской орфографии написание латиницей, как и средствами других графических систем, не предусмотрено. Обычно названия, набранные латиницей, пишут без кавычек. Однако справочники для издателей рекомендуют такие названия передавать средствами русской графики — транскрибировать или транслитерировать. Данные рекомендации отвечают интересам всех носителей русского языка: название, написанное русским алфавитом, доступно для чтения и произнесения любому человеку, знающему русскую грамоту, вне зависимости от того, каким иностранным языком и в какой мере он владеет. См., например: Розенталь Д. Э. Джанджакова Е. В., Кабанова Н. П. «Справочник по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» (М., 1999, § 74); Мильчин А. Э., Чельцова Л. К. «Справочник издателя и автора» (М., 2014, § 3.25.6–3.25.7).

При естественном литературном произношении в первом предударном слоге не может звучать [э]. В этой позиции происходит редукция гласного – он становится короче и меняет качество. Вместо [э] произносится звук средний между [э] и [и], его называют «и с призвуком э», а записывают в более точной транскрипции так – [и^э], в менее точной, в том числе в школе, – [и].