Лучше оставить запятую. На ее месте можно также поставить тире, так как две части бессоюзного сложного предложения противопоставляются друг другу.

Если в статье речь идет о влиянии того-то на то-то на примере такого-то, то данное название полностью соответствует ее содержанию.

Фраза с таким порядком слов трудна для восприятия, рекомендуется ее перестроить, например: Ниже рассказываем за что; За что? Рассказываем ниже.

Верно: Дождитесь доставки карты или заберите ее в отделении банка. Глагол дождаться в этом случае требует формы родительного падежа существительного.

Доказать, что это сложное — и только сложное — предложение, затруднительно.

Смысл предложения состоит в установлении причинно-следственной связи между двумя ситуациями: причина (Q) и следствие (Р). Q: он не услышал звонка; P: он не подошел к телефону.

Причинно-следственная семантика может выражаться многообразно:

1. Он не услышал звонка и не подошел к телефону (простое с однородными сказуемыми).
2. Он не подошел к телефону, потому что не услышал звонка (сложноподчиненное).
3. Поскольку он не услышал звонка, он не подошел к телефону (сложноподчиненное).
4. Не услышав звонка, он не подошел к телефону (простое, осложненное обособленным обстоятельством, выраженным деепричастным оборотом) (деепричастие иногда называют второстепенным сказуемым).
5. Он не услышал звонка, поэтому он не подошел к телефону (бессоюзное сложное (поэтому и потому — не союзы!)).

В случаях (2–5) сомнений быть не может, эти конструкции квалифицируются однозначно. Предлагаемое в вопросе предложение ближе всего к (5), но во второй части опущено подлежащее — во избежание избыточного повтора. Здесь нужно обратить внимание на функцию местоименного наречия потому/поэтому. Оно принимает участие в организации сложного предложения, поскольку отсылает к первой части, квалифицируя ее как причину (Q) того, о чем сообщается во второй части (Р). Но это его вторичная функция, а первичная — роль обстоятельства причины во второй части. Причем такого обстоятельства, которое распространяет не какое-то одно слово, а всю вторую часть (начиная с 60-х гг. прошлого века такие члены предложения называют детерминантами). Вся ситуация Р (а не какой-то ее компонент) произошла по причине, на которую указывает местоименное наречие. Так вот, само наличие детерминанта склоняет чашу весов в пользу признания предложения сложным, поскольку детерминант распространяет не одно слово, а целое предложение.

Вместе с тем вся эта аргументация не может быть признана стопроцентно убедительной. Ведь в пример (1) легко ввести то же местоименное наречие: Он не услышал звонка и потому не подошел к телефону. Для большинства носителей русского языка это, как и (1), — простое предложение с однородными сказуемыми. То же можно сказать о предложении, содержащемся в вопросе.

Таким образом, поставленная задача однозначного решения не имеет.

В теории синтаксиса проблема однородных сказуемых является одним из «проклятых» вопросов: в принципе, любую конструкцию с однородными сказуемыми допустимо трактовать и как сложное предложение.

На практике же разумнее всего отдавать предпочтение наиболее экономным решениям: если можно трактовать конструкцию как простое предложение с однородными сказуемыми, то это и предпочтительно.

Первая часть предложения не является устойчивым выражением, это придаточная часть. Отделить ее можно запятой, но в данном случае возможно и тире. 

Возможны оба варианта: не подойду первой и не подойду первая. Обратите внимание на пунктуацию: запятая после поэтому лишняя, ее надо убрать.

Предложение лучше перестроить, например, так: Она оставалась в таком состоянии и когда отец заталкивал ее в карету, и во время поездки.

Оба варианта возможны, но предпочтительнее: на свою собаку. Обратите внимание: запятая после слова лечебницу не нужна. Нет оснований для ее постановки.

Существуют три ветви власти: исполнительная, законодательная и судебная. Прессу в силу ее влиятельности на политическую жизнь общества образно называют четвертой властью.