Если соответственно употреблено в знач. «надлежащим образом», «так, как требуется» или «соответственно тому, что сказано выше», запятая не ставится. Но вводное слово соответственно (то же, что «следовательно, значит») обособляется. См. «Справочник по пунктуации».

Слово месяц в русском языке употребляется в значении 'лунный диск или его часть' (любая, не обязательно одна четвертая). О луне в первой четверти можно сказать молодой месяц. А полумесяц – ''неполная луна, лунный серп'.

Корректно: Могучий Дуб, Сидящий на Реке. В именах все слова, кроме служебных, следует писать с прописной буквы, дефисы ставить не следует, ср.: Петушок со Шпорами (герой сказок), Людвиг ван Бетховен, Леонардо да Винчи.

Лекало — это не только инструмент, но и шаблон. И всё же на лицо накладывают не лекало, а саму маску, поэтому вернее сказать, например, так: Лекало слишком маленькое, и маска не покрывает полностью нос.

Синтаксическая связь в словосочетании надеть пальто обозначена в наших ответах как управление неизменяемым словом, то есть всё же управление. То же самое можно сказать и о синтаксической связи в остальных приводимых Вами словосочетаниях.

Запятые не требуются.

Сомнения вызывает оборот Начиная Михаилом Фёдоровичем и заканчивая расстрелом (начало периода обозначается именем человека, а финал — событием). Возможно, будет лучше сказать: С начала правления Михаила Федоровича и до расстрела Николая II...

Запятая не нужна. Также не нужно обособление оборота быстрой монтажной фразой.

Сочетание и снова мальчик не является присоединительной конструкцией, потому что до перечисления кадров было сказано, что кадров три, и мальчик – третий ожидаемый кадр.

Мы не можем ответить на вопрос, поскольку не знаем ни сути просьбы, ни правил, принятых в организации. Можно только сказать, что официальные письма должны содержать всю необходимую информацию, быть максимально ясными и исключать недопонимание.

Запятая перед или не нужна: в случае осуществления обращения по электронной почте или невозможности регистрации обращения непосредственно в момент обращения — единый обстоятельственный оборот. Кстати сказать, отделять его запятой от остального предложения не требуется.