Верно: в 960–1025 годах; в 1025–1079 годах; в 1295–1370 годах.
Во втором случае лучше: в период с 1930 по 1957 год. Первый пример корректен.
Это шестидесятые годы. Семидесятые годы – годы с 1970 по 1979.
Корректны оба варианта, так как при существительных женского рода в сочетаниях с числительными два, три, четыре прилагательное может выступать в форме как родительного, так и именительного падежа. См.: Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Грамматическая правильность русской речи. Стилистический словарь вариантов.
Верно: Будучи в 1955–1963 годах старшим инспектором, он непосредственно занимался многими организационными вопросами, связанными с созданием музея.
Устойчивое сочетание: многие годы.
Существуют деловые, публицистические, разговорные тексты.
Корректны оба варианта.
Постановка кавычек в этом случае уместна.
