Нужна частица НЕ.
Форма деепричастия - пиша. Нужно отметить, что эта форма практически неупотребительна.
Образование деепричастия в этом случае затруднительно.
Правильно: заведующая детским садом.
Устойчивые сочетания правильно писать без кавычек: живая музыка, горячая линия. «Чайный стол» в значении 'чаепитие' лучше взять в кавычки.
Оба варианта возможны.
Это неоднородные приложения, они не разделяются запятой.
Нет, нельзя, так как это словосочетание, состоящее из прилагательного и наречия: русская (считающаяся, называемая русской) — с какого времени? — исконно (с самого начала, с незапамятных времён, всегда).
Если нет необходимости подчеркнуть, что исполнителей было много, то нужно выбрать форму ед. числа, например: 39 проектов подготовлены к защите в пяти институтах и 39 проектов подготовлено к защите.
