Оба сочетания правильны: в шестидесятые годы и в шестидесятых годах. В справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» указано, что при обозначении десятилетий посредством порядковых числительных чаще употребляется форма предложного падежа: в шестидесятых годах.

Существительное, относящееся к глаголу (а причастие – форма глагола) с отрицанием, может иметь форму родительного или винительного падежа. Если при зависимом существительном есть слова никакой, ничей, ни один, выбирается родительный падеж: не оскорбляющий ничьих религиозных чувств.

Если Вы имеете в виду форму повелительного наклонения глагола устроить, то да, такая форма есть.

Если имеется в виду существительное от глагола устраивать, то в современном русском языке оно не употребляется, а используется слово устройство.

Членом предложения является предложно-падежная форма целиком (в лесу), так что подчеркивать нужно и предлоги (хотя это и не принципиально). Возможно, учителя хотят подчеркнуть, что служебные части речи (предлоги) не являются членами предложения сами по себе. 

В конструкциях с составными числительными, оканчивающимися на два, три, четыре, винительный падеж сохраняет форму именительного независимо от категории одушевленности. Литературная норма: шестьдесят два водителя привлекут к ответственности. Вариант шестьдесят двух водителей привлекут к ответственности – разговорный.

В конструкциях с составными числительными, оканчивающимися на два, три, четыре, винительный падеж сохраняет форму именительного независимо от категории одушевленности. Литературная норма: Я видел двадцать два известных футболиста. Вариант Я видел двадцать двух известных футболистов – разговорный.

В первом предложении запятая после стихло не нужна. В деепричастии не хватает -сь (верно: переговариваясь).

Во втором предложении предпочтительна форма единственного числа, так как сказуемое предшествует однородным подлежащим. Но эта рекомендация не носит категорического характера.

Правильно: крЕмы. В словарях не говорится, что у слова крем форма множественного числа – кремА. В словарной статье «крем, -а» «-а» – это не окончание именительного падежа мн. числа, а окончание родительного падежа ед. числа (нет крЕма).

Правильно: Вы пишете о том, что... Пишите  – форма повелительного наклонения.

Возможно слитное написание: Это необычная магия (=волшебная, хотя может ли магия быть обычной?) и раздельное написание, если необходимо подчеркнуть отрицание (такой вариант представляется более уместным).

В эфире корректно: в этом часе, в течение следующего часа. Форма предложного падежа с окончанием -у ограничена в употреблении рядом устойчивых конструкций: (пришел) в пятом часу, (неполадки возникли) на третьем часу полета и нек. др.