Специального правила нет. Но вежливее так: Мария Иванова, менеджер по работе с клиентами.

Слово интернет имеет в современном русском языке только одно значение, поэтому прописная буква для его выделения не требуется (ср.: телевидение, радио и т. п.). Тогда как прописная буква в слове Сеть подчеркивает, что в данном случае это существительное употребляется в специфически узком значении. 

1. Лучше поставить тире вместо запятой: ...быть свободным - и точка.

2. Дополнительные знаки препинания не нужны: Но это означает расстаться с семьею.

Вы правы, в бумажном варианте словаря так же. Увы, ни одно издание не обходится без опечаток. В словаре-справочнике Е. А. Левашова "Географические имена. Трудные случаи употребления" также указано: Шлезвиг-Гольштейн, Шлезвиг-Гольштейна. Этой рекомендации и следует придерживаться.

Это так называемое эллиптическое предложение. Эллиптические предложения представляют собой особую разновидность неполных предложений; в отличие от обычных неполных предложений, они сохраняют смысловую достаточность даже будучи вырванными из контекста.

В самом деле: предложение Лесникова вне контекста производит странное впечатление. А вот в контексте, из которого оно взято, оно вполне осмысленно, потому что контекст дополняет все то, что в нем опущено:

- Ты лесникова дочь?

- Лесникова. (И. С. Тургенев. Записки охотника)

Таковы обычные неполные предложения.

В приведенном вами примере опущена вся грамматическая основа, но он и вне контекста вполне понятен.

О наличии грамматической основы свидетельствуют формы косвенных падежей: дательного (работнику) и винительного (зарплату). Косвенный падеж сам по себе, «ниоткуда», появиться не может: это всегда зависимая форма. Следовательно, подразумевается главный член, который требует, чтобы зависимые от него дополнения приняли формы именно этих падежей. Например, Каждому работнику следует назначить достойную зарплату; Каждому работнику назначьте достойную зарплату. В первом случае перед нами безличное предложение, во втором — определенно-личное. Возможны и другие способы восстановления главного члена (= грамматической основы), но в любом случае он есть.

Уточняем ответ на Ваш вопрос. К сожалению, полный академический справочник "Правила русской орфографии и пунктуации" регламентирует написание кратких форм только для отглагольных прилагательных:

§ 101. Краткие формы (кроме формы мужского рода) прилагательных с качественным значением, совпадающих по форме со страдательными причастиями прошедшего времени глаголов совершенного вида, пишутся с нн, напр.: воспитанна, воспитанно, воспитанны (от прилагательного воспитанный 'обнаруживающий результаты хорошего воспитания'); избалованна, избалованно, избалованны (от прилагательного избалованный 'привыкший к исполнению своих прихотей'); возвышенна, возвышенно, возвышенны (от прилагательного возвышенный 'полный высокого содержания'). Такие прилагательные имеют формы сравнительной степени: воспитаннее, избалованнее, возвышеннее.

Отметим, что на отыменные прилагательные фактически распространяется то же правило (это не отражено в справочнике, что странно).