Правилу соответствует написание Студёные Ключи. Нарицательные существительные в составных географических названиях пишутся с прописной буквы, если они употреблены не в своем обычном значении.
Глагол молсать ‘сосать’, ‘глодать’, от которого образовано это существительное, включен в «Словарь русских народных говоров» (Вып. 18. Л., 1982. С. 248).
Такое название должности следует писать со строчной буквы. С прописной рекомендуется писать только названия высших государственных должностей и титулов и только в официальных текстах.
Если это заголовок в газете или на новостном сайте, следует писать с маленькой буквы. Если это заголовок официального документа, то с большой (но, скорее всего, там будет указано, какой именно области, например Выборы Губернатора Калининградской области).
Да, нужна прописная буква. Вы написали правильно.
Верно: филлер (как роллер).
Правильно: конаковцы. См.: И. Л. Городецкая, Е. А. Левашов. Русские названия жителей. Словарь-справочник. М., 2003.
Корректно: взыскателю - Министерству...
См. в «Письмовнике».