Не вполне ясно, как можно мыслить фактами, если под фактом, как известно, понимается событие, происшествие, случай и т. п. Может быть, речевой оборот оперировать фактами способен выразить авторскую мысль?

Это сочетание можно рассматривать и как словосочетание (обычно внутри перечисления ингредиентов), и как отдельное предложение. В последнем случае — а это будет эллиптическое предложение — тире может быть поставлено.

В первом случае тире нужно: Безопасность — это очень важно. В предложениях второго типа тире обычно не ставится, но может быть использовано при необходимости логически и интонационно подчеркнуть сказуемое.

Оба варианта корректны: птолемеевская система и птолемеева система. Каждый из них может быть использован в зависимости от предпочтений автора текста или установившейся нормы в конкретной научной или образовательной литературе.

Это решение принято редакторами словаря, не редакцией портала. Решение оправданное: род аббревиатуры определяется по родовому слову: БАД - добавка, женский род. Но, как Вы справедливо замечаете, могут быть и исключения.

Орфографически верным будет слитное написание (по аналогии с зафиксированным в «Русском орфографическом словаре» РАН словом диетврач). Но, может быть, получится выразить нужный смысл не столь диковинными для русского языка словами?

Действительно, это выражение может быть не всем понятно, мы рекомендуем заменить его. Если все же Вы решите его оставить, лучше написать в кавычках в два слова: проводить работы "на живую".

Двоеточие уместно. Этот знак ставится перед прямым вопросом, включенным в состав бессоюзного сложного предложения. Часть, предшествующую вопросу, можно охарактеризовать как неполное предложение. Полное может быть таким: и все-таки я спрошу.

Теоретически может быть и то, и другое. Выбор знака за автором. Но, судя по интонации, авторскому замыслу соответствует дефис. Слово город выступает как определяемое, а сказка и мечта как приложения.

Если в цитируемом тексте уже имеется цитата или название, которое должно быть заключено в кавычки, то пользуются кавычками разной формы — «лапочками» (" ") и «елочками» (« »). «Лапочки» (или «лапки») — внутренний знак; «елочки» — внешний.