Верно: Кот дернул хвостом и повернул голову: домой вернулась хозяйка.

В этом бессоюзном предложении очевидна причинно-следственная связь между его частями: кот дернул хвостом и повернул голову, потому что домой вернулась хозяйка. В этом случае следует поставить двоеточие. Если бы смысловые отношения между частями предложения были другими (Кот дернул хвостом и повернул голову (поэтому) домой вернулась хозяйка), нужно было бы поставить тире.

Согласно действующим орфографическим нормам следует использовать вариант дээр (как, например, эсэмэска, кавээновский и т. п.).

Весьма непростой вопрос. Если в этом предложении употреблено наречие (придерживая где), то верно раздельное написание: Он стоял у ямы, под мышкой придерживая лопату. Если же здесь существительное (придерживая чем), то верно слитное написание: Он стоял у ямы, подмышкой придерживая лопату.

Оба варианта прочтения кажутся нам равно вероятными.

Прилагательное неразрешенный имеет значения ‘запрещенный’ или ‘неясный’ (подробнее см. «Большой толковый словарь» под ред. С. А. Кузнецова) и обозначает постоянный признак предмета.

Причастие разрешенный с отрицательной частицей не обозначает временный признак предмета, связанный с его участием в действии.

Разница в значении прилагательных и причастий проявляется в их грамматических особенностях. Причастия обладают категорией вида, залога (действительные и страдательные причастия) и времени (причастия настоящего и прошедшего времени), прилагательные этими категориями не обладают. Синтаксической особенностью причастий является их способность иметь зависимые слова, прилагательные таким свойством не обладают. Ср.:

Ум его в плену. В нем мысль великая и неразрешенная (Ф. Достоевский) ― прилагательное (нет глагольных категорий, нет зависимых слов).

Вопрос о происхождении связей так называемых родственных языков очень сложный и в полном объеме не разрешенный и в наши дни (В. Алпатов) ― причастие (совершенный вид, страдательное, прошедшего времени; зависимые слова: не разрешенный (как?) в полном объеме, не разрешенный (когда?) в наши дни).

Корректно с прописной: Машгородок.

Корректно: ошибка закралась (во что — В. п.) в заявление; ошибка обнаружена (в чем — П. п.) в заявлении.

Наречное выражение в первую очередь не требует выделения запятыми.

Правильно: «Парню пятнадцать, — подумала я, — но он постарался остаться в рамках правил этикета».

С запятой и без нее предложение будет иметь разный смысл: 1) Как государственный деятель и реформатор, он получил высокую оценку = «получил высокую оценку, поскольку был государственным деятелем и реформатором»; 2) Как государственный деятель и реформатор он получил высокую оценку = «​​​​​​​получил высокую оценку в качестве государственного деятеля и реформатора» (а в другом качестве — не получил).

Нормативными словарями современного русского языка это слово не зафиксировано, хотя в специальных текстах изредка встречается как вариант углизация (чаще), так и вариант углеизация. Это существительное образовано по весьма продуктивной модели: от глагола с суффиксом -изирова(ть) при помощи суффикса -ациj. Ср.: ионизировать — ионизация, капитализировать — капитализация и т. п.  При этом в некоторых (хотя и редких) случаях между конечным согласным корня и гласным и суффикса втсречается вставка гласного е, например: атеизация, европеизация.