Да, склонение мужской фамилии Матей обязательно. Женская фамилия не склоняется.
В бытовом употреблении: соус табаско. Как название торговой марки: соус "Табаско".
Это неудачное сочетание. Корректно: впитывается с детства или впитывается с молоком матери.
Требуется родительный падеж: ...с назначением меня, Ивановой Марии Алексеевны, на должность... согласна.
Пунктуация верна. Обратите внимание, что название марки заключается в кавычки: автомобиль «Лада».
Кавычки не нужны, если слово хондовский используется в прямом значении: мотор марки "Хонда".
Правильно: «Шевроле» как название производственной марки (бренда) и «шевроле» как название самого автомобиля.
Правильно: автомобиль «Газель» (в качестве названия производственной марки); «газель» (как название самого автомобиля).