Такие выражения не ошибочны. Язык нельзя сводить к формальной логике, к математическим уравнениям и тождествам. Многие слова и обороты, на первый взгляд лишенные смысла, повышают образность и выразительность речи. Ср.: я видел это своими собственными глазами – казалось бы, здесь три лишних слова: чем еще можно видеть, как не глазами, чьими еще глазами можно видеть, как не своими? Но эти слова отнюдь не лишние, если их убрать, то от эмоционального и образного высказывания останется голая передача информации (я видел это).

Если речь идет о тире после личного местоимения он, то в справочнике по пунктуации Д. Э. Розенталя сказано, что такое тире допустимо при логическом подчеркивании подлежащего, роль которого играет в данном случае это личное местоимение. Мы же заметим, что постановке тире в данном случае способствует указательное местоимение то в функции именной части сказуемого (специфика выражения сказуемого в подобных конструкциях не отражена в справочниках). Представляется, что к цитируемой надписи нет нужды применять понятие авторской пунктуации или авторского знака. 

Д. Э. Розенталь указывает: если между главной и придаточной частями сложноподчиненного предложения стоит вводное слово, то оно выделяется запятыми на общих основаниях. Согласно этой рекомендации корректно: Закаляться важно, например, чтобы снять стресс.

Однако такое пунктуационное оформление может порождать двусмысленность: здесь акцент на примере (логическое ударение падает на слова снять стресс) или на важности закаливания (логическое ударение падает на слово важно)? Поэтому для выражения второго смысла лучше использовать тире вместо первой запятой: Закаляться важно — например, чтобы снять стресс.

У слова гора было значение ‘верх’. Отсюда наречие горе́ ‘вверх’, слова горний ‘находящийся в вышине’, горница ‘комната в верхнем этаже’. Тем самым идти в гору значит ‘двигаться вверх’. Переносное значение выражения лезть в гору ‘добиваться благополучия, служебного продвижения’ фиксируется в XVIII веке. Более позднее распространение фразеологизма идти в гору В. В. Виноградов связывал с проникновением его в разговорную речь из карточного жаргона. Подробнее см. в статье Виноградова.

Смысловой разницы нет, это идентичные по смыслу высказывания.

Предпочтительно использование причастия прошедшего времени.

Частеречная принадлежность указана в правиле: это частицы. Следует отметить, что правила пунктуации в общем случае говорят о знаках между предикативными частями предложений, членами предложения и некоторыми словами, не являющимися членами предложений (такими как вводные слова, междометия, обращения, вставные конструкции и др.). Собственно "части речи" знаками препинания не выделяются.

Большое спасибо за теплые слова!

Во всех четырех примерах нарушены нормы глагольного управления. Нужно руководствоваться справочниками по грамматическому управлению или словарями грамматических трудностей. Правильно: утвержать что-либо, означать что-либо, указывать на что-либо, обсуждать что-либо.

Действительно, в информационных заметках встречаются лаконичные обороты типа байопик композитора или байопик певицы. Тем не менее обзор текстов, в которых слово байопик употребляется по отношению к герою фильма, показывает, что преобладают словосочетания с предлогом о: байопик о композиторе, байопик о певице. На наш взгляд, в этом случае значение оборота сохраняет ясность и однозначность, тогда как выражения байопик композитора или байопик певицы оставляют открытым вопрос о создателе фильма. Именно тех, кто снимал байопик, обычно и называют зависимые существительные в форме родительного падежа.