В обиходной речи (или, точнее, в речи непрофессионалов) это выражение закрепилось и употребляется.

Да, слово Луна как астрономический термин – название спутника Земли – является именем собственным и пишется с прописной буквы. Однако в нетерминологическом значении, а также в значении 'спутник любой планеты' луна – нарицательное существительное: ничто не вечно под луной; две луны Марса.

Текст подстрочного примечания, как правило, не согласуется с формой поясняемого текста – ведущее слово независимо от падежа поясняемого слова ставят в именительном падеже. Текст примечания, как самостоятельное предложение, необходимо начинать с прописной буквы и в конце ставить точку. Обязательного требования повторять поясняемое слово в тексте примечания нет, но для полноты примечания это имеет смысл сделать. Итак, правильно:

На гаке* было 5 барж.

Слово функционал следует использовать только как математический термин. В данном тексте его употребление нельзя признать корректным.

Двоякая трактовка возможна, но, может быть, здесь проблемы со словообразованием, а не с правописанием?

Каротаж – франц. carottage, от carotte - буровой керн, буквально - морковь.

Как термин - вероятно, корректно.

Такое выражение существует как термин (ср.: минимальный размер оплаты труда - МРОТ).

Предикативность - соотношение высказывания и действительности: На улице весна (в действительности, сейчас); Наступила весна (в прошлом); Была бы сейчас весна (в действительности весны нет) и т. д. – с точки зрения предикативности приведенные предложения разнятся.

Термин внучатые организации не употребляется. Выражение может быть использовано как авторское (окказиональное) в соответствующем (возможно, ироническом) контексте.