Это выражение в указанном Вами значении не входит в число фразеологизмов русского литературного языка. Тем не менее в индивидуально-авторском употреблении такое выражение возможно.
На краю земли — это не дательный падеж, это тоже предложный падеж. Одно из его подзначений так и называется — местный падеж (локатив). Подробнее об этих формах см. ответ на вопрос № 263338.
О вариантах выпить чая — выпить чаю см. ответ на вопрос № 281220.
Вы не вполне правы. В параграфе 43 «Правил русской орфографии и пунктуации», изданных в 1956 году (как, впрочем, и в параграфе 73 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации», изданного в 2006 году), речь идет об орфографии — о том, что в этих формах пишется окончание -ом, а не -ым. Родовые слова приведены здесь, как представляется, скорее для ясности — что это селом Крюковом, а не гражданином Крюковым. Кстати говоря, в 1956 году все-таки столь сильной тенденции к несклоняемости, как сейчас, еще не было, такой пример вполне мог соответствовать книжно-письменной речи того времени.
А в «Письмовнике» речь идет о грамматике — о том, что в современной речи при наличии родового слова названия на -ово, -ево, -ино, -ыно не склоняются. Но если бы мы их стали склонять, воспроизводя старые грамматические нормы, то в этом склоняемом варианте, в соответствии с орфографическим правилом из параграфа 43 Правил-1956 и параграфа 73 полного академического справочника, писали бы окончание -ом: «История села Горюхина» — под селом Горюхином.
Поскольку глагол обретать несовершенного вида, от него нельзя образовать деепричастие совершенного вида. Но можно от глагола обрести: обретя.
Например: неводить, неводник, неводный, неводок, неводчик, неводьба (см. окно «Искать на Грамоте»).
