Есть много версий, объясняющих происхождение этого слова, и ни одна из них не является наиболее убедительной. А в случаях, когда этимология слова затемнена, вокруг него рождается много легенд, некоторые из которых заслуживают внимания. См. также в «Непростых словах».

Слово есть, но в указанном значнии оно употребляется как разговорное.

Большой толковый словарь

Интересный вопрос. В толковом словаре под ред. Д. Н. Ушакова 1935–1940 гг. эти синонимичные слова в значении 'отсутствовать' фиксировались в слитном написании. В 1956 г. в первом академическом орфографическом словаре сочетание не хватать было рекомендовано писать раздельно. В скобках был дан пример: не хватает сил. При этом сочетание глагола доставать с не было отмечено звездочкой, что означало возможность как слитного, так и раздельного написания (ср.: Ребенок не достает до полки с книгами и Ребенку недостает терпения). В правилах 1956 г. в список глаголов, не употребляющихся без не, был включен глагол недостает (именно в такой форме) в значении 'недостаточно'.

Видимо, при разработке правил орфографии и составлении словаря решение по-разному писать эти глаголы было основано на том, что глагол доставать в значении 'хватает, достаточно' в строгой литературной речи не употреблялся. А вот глагол хватать имел такое значение. Ср.: Мне всего хватает в жизни (предложение стилистически нейтрально) и Мне всего достает в жизни (фраза имеет разговорную окраску). 

По поводу преподавания в школе заметим следующее. Соответствующее изменение было внесено и в орфографический словарь для учащихся средней школы Д. Н. Ушакова и С. Е. Крючкова 1957 г., в котором, как сообщалось в предисловии, на основании введенных в действие правил 1956 г. были «уточнены написания ряда слов». В учебнике русского языка С. Г. Бархударова и С. Е. Крючкова 1968 г. (15-е издание) мы нашли в списке примеров к правилу о раздельном написании частицы не с глаголами сочетание не хватает. А в упражнениях было дано предложение В пачке (не) достает двух книг. Все это говорит о том, что уже в 1960-х гг. школьные учебники соответствовали орфографическим рекомендациям академических правил и словарей. 

На Ваш вопрос отвечает Ирина Владимировна Фуфаева, кандидат филологических наук, автор книги «Как называются женщины. Феминитивы: история, устройство, конкуренция» (М., 2020).

Феминитив педагогичка возник после появления в Санкт-Петербурге в 1859 году первых педагогических женских курсов при Мариинской гимназии. Затем такие курсы появились и при других гимназиях. Педагогичками стали называть девушек, которые там обучались. Феминитив был образован от прилагательного педагогический с суффиксом -к(а), а не от существительного педагог, отличался от него по смыслу и был непарным. 

В переписке И. А. Гончарова с великим князем Константином Константиновичем в 1889–1890 годах встречаются номинации, видимо, одной и той же девушки: бывшая педагогичка, воспитанница Женских Педагогических курсов, бывшая слушательница Педагогических курсов, ср: Недавно я имел маленькое сведение о Вашем Высочестве от воспитанницы Женских Педагогических курсов, где Вы… удостоили присутствием их классы. Кстати о воспитанницах. Одна из них, именно Трейгут находится на 3м курсе» [И. А. Гончаров. Письма великому князю Константину Константиновичу (1889)]; Я знаю, что вам трудно писать, но может быть барышня Трейгут, бывшая слушательница Педагогических курсов, с ваших слов напишет несколько строк для нашего успокоения [Константин Константинович (К. Р.). Письмо И. А. Гончарову (1890)]; ― В добавок дети ее, девочки, в том числе и бывшая педагогичка, уехали  на какой-то вечер в Коломенскую Гимназию [И. А. Гончаров. Письма великому князю Константину Константиновичу (1890)].

При этом, поскольку выпускниц курсов тоже называли педагогичками и они работали педагогами (учительницами и гувернантками), слово естественным образом сблизилось с существительным педагог. Далее существительное стало употребляться как феминитив к слову педагог, хотя первое значение у него сохранялось и в раннесоветское время.

Правила меняются не так часто, а изменения охватывают не такое большое число слов, как может показаться. Но изменения неизбежны, ведь язык не стоит на месте, в нем постоянно что-то меняется, а филологи фиксируют новые нормы в словарях и справочниках. Чтобы успевать за изменениями в языке, достаточно просто пользоваться современными словарями и справочными пособиями.

Что касается Тотального диктанта, то его тексты буквально до знака разбирают филологи – члены экспертной комиссии диктанта, которые обращают внимание на все потенциально сложные места и решают, что можно, а что нельзя считать ошибкой, о чем необходимо предупредить пишущих еще до диктанта. Условно говоря, если бы в тексте диктанта встретилось сочетание Вторая мировая война, то о его правильном написании либо рассказали бы пишущим до диктанта, либо не считали бы написание строчными ошибкой.

И еще один важный момент, раз уж зашла речь о Тотальном диктанте. Даже если человек напишет диктант в строгом соответствии с тем, как его учили, это может не спасти его от ошибок, но не потому, что правила изменились, а потому, что его могли чему-то не научить. В школе изучаются не все правила правописания, школа дает базовые, основные сведения по русскому языку (как и по любому другому предмету, ведь, например, в школьном курсе физики тоже не излагаются абсолютно все сведения по физике). Чтобы безупречно владеть языком, нужно продолжать его изучать и после школы. И одна из задач Тотального диктанта, на котором участникам, в отличие от школьных диктантов, предлагают написать не учебные, не адаптированные тексты, – продемонстрировать это, показать, что русский язык сложнее, глубже и интереснее, чем кажется многим после 11 классов, рассказать о правилах правописания, которые человек забыл после школы или о которых просто не упоминали на уроке русского языка.

Традиция оформления программ, оглавлений и тому подобных перечней такова, что после фамилии автора перед названием произведения или указанием на фрагмент произведения ставится точка, а после точки закономерным образом следует прописная буква: И. С. Тургенев. Русский язык; М. И. Глинка. Увертюра к опере «Руслан и Людмила»; А. И. Хачатурян. Вальс из музыки к драме М. Ю. Лермонтова «Маскарад» и т. п. Вы оформляете программы корректно, следуя традиции.

Наталья Владимировна, рады Вам. С прошедшим!
На возможность двоякого склонения личных имен Ия, Лия, Вия, Тия, Гия (муж. груз.) указывает еще Л. П. Калакуцкая в работе «Фамилии. Имена. Отчества. Написание и склонение» (М., 1994). Она пишет, что эти имена могут склоняться: а) с окончанием -е в дательном и предложном падежах (к Лие, о Лие) и б) по образцу имени Мария (т. е. к Лии, о Лии). Так что написание о Лие было зафиксировано задолго до начала работы над новым справочником.
На наш взгляд, учительница может объяснить детям, что такие короткие двух-трехбуквенные имена, как Ия, Лия, являются исключениями и могут быть написаны как с и на конце, так и с е на конце.

Одна из сложностей морфемного членения форм глагола связана с тем, что в школьном курсе особенности формообразования глагола ограничиваются описанием спряжения, хотя вопрос о существующих модификациях глагольной основы затрагивается в некоторых пособиях, см., например, справочник Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников».

Особенность глагольного формообразования заключается в том, что глагольные формы образуются не от одной, как другие части речи, а от двух (иногда даже от трех) формообразующих основ. Выделяют формообразующие основы настоящего времени глаголов несовершенного вида (или простого будущего времени для глаголов совершенного вида; эти две основы идентичны по своему строению) и прошедшего времени. Основа прошедшего времени в большинстве случаев совпадает с основой инфинитива, поэтому иногда в качестве второй формообразующей основы, наряду с основой настоящего времени, называют основу инфинитива, а не основу прошедшего времени.

Глагольная основа настоящего (простого будущего) времени образуется путем отбрасывания личных окончаний в формах настоящего (или простого будущего) времени. Наиболее удобной для определения этой основы является форма 3-го лица множественного числа: чит-а[j]-ут, пиш-ут, рис-у[j]-ут и т. д. Следует обратить внимание на то, что в основе настоящего времени часто присутствует [й], не отражающийся на письме в формах 3-го лица, но проявляющийся в других формах.

Основа прошедшего времени образуется при отбрасывании от глагольной формы прошедшего времени формообразующего суффикса -л- и окончания: чит-а-л-а. Основа инфинитива, с которой чаще всего совпадает основа прошедшего времени, образуется при отбрасывании показателя неопределенной формы -ти (-ть): най-ти, игра-ть. В ряде случаев основа прошедшего времени и основа инфинитива не совпадают, например у глаголов на -ере(ть) типа растереть, умереть, запереть, ср. умер-л-а — умере-ть; у глаголов на -ну(ть), обозначающих переход из одного состояния в другое (сохнуть, мерзнуть, ослепнуть и др.), например: ослеп-л-а — ослепну-ть и др.

От основы настоящего (простого будущего) времени при помощи формообразующих суффиксов (-и- и нулевой суффикс) образуются формы императива.

Членение формы читай: чит- (корень) / -а[j]- (формообразующий суффикс основы настоящего времени) / Ø (формообразующий суффикс инфинитива). Ср.: рис-у[j]-Ø, толк-н-и и т. д.

Членение формы найти: на- (приставка) / -й- (корень) / -ти (формообразующий суффикс инфинитива, иногда трактуется как окончание). Ср.: у-й-ти, пере-й-ти и др.

Глагол найти в значении ‘отыскать’ утратил живые семантические связи с глаголом движения, однако при собственно морфемном разборе членение сохраняется, см. «Словарь морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Е. Ефремовой.

При словообразовательном анализе глагол найти в значении ‘отыскать’ считается непроизводным, основа не членится.

Названия жителей написаны правильно, но сочетания астраханский арбуз, самарские улицы пишутся со строчной буквы.