Правильно: благодарность объявляется семье Ивановых.
Это сложноподчиненное предложение с придаточным присоединительным. Союзное слово что (в данном случае — с предлогом и в родительном падеже) вмещает в себя содержание главной части. Бессоюзным предложение станет, если заменить после чего на после этого.
Верно: блогер.
При слове семья иноязычная фамилия обычно ставится в форме единственного числа: семье Граф.
Верно: сезон отчетности, сезон отчетов.
При слове семья фамилия обычно ставится в форме единственного числа, например: семья Оппенгейм, семья Шверцель.
При слове семья фамилия обычно ставится в форме единственного числа: семья Шпак. См. наш ответ № 323745.
Оба варианта корректны.
Лучше написать: Дорогие Ивановы! Но грамматически возможно: Дорогая семья Ивановых!
Правильно: семья Буш.
