Запятая необходима для отделения придаточной части, следующей за причастием определяющие.

Это сложноподчиненное предложение, запятая нужна. Слово что является местоимением. 

Грамматическая основа — не дай. Это простое глагольное сказуемое. Глаголы не дай и погибнуть называют действия разных субъектов, поэтому инфинитив не входит в состав сказуемого. Слово Боже является обращением. 

Подобные ситуации, к сожалению, не описаны в правилах. Здесь конфликтует два правила — об обособлении определения, относящегося к личному местоимению (такие определения обособляются), и о необособлении приложений с союзом как со значением тождества, приравнивания. Мы рекомендуем запятые ставить, так как определение при личном местоимении всегда приобретает дополнительное обстоятельственное значение, что является еще одним условием обособления. 

Корректен первый вариант, второй нет. Придать чему-то или кому-то можно какое-то свойство, качество, особенность, то есть то, что является неотъемлемой характеристикой (придать храбрости, сил, бодрости, уверенности;  придать вкус, блеск, детали нужный изгиб, модели форму ромба, документу законную форму, зданию новый облик, лицу строгое выражение). Также придать — это приписать кому-, чему-л. какое-л. значение, важность и т.п. (придать значение этим словам, важности сообщению). Огласка не является характеристикой факта, ее невозможно приписать чему-то.

Если вторая часть бессоюзного предложения поясняет то, о чем говорится в первой части (в таких случаях возможна подстановка слов а именно), между частями ставится двоеточие. Таким образом, перед это следует поставить двоеточие.

В остальном пунктуация верна.

В этом случае возможно и слитное, и раздельное написание частицы.

Возможно: Шереметьево гордится тем, что является самым пунктуальным аэропортом в Европе.

Знаки препинания в этом предложении расставлены верно. Запятая после слова понятно закрывает придаточное предложение.

Правилен первый вариант. Название города Хива освоено и поэтому в сочетании со словом город склоняется. Ср.: Так наконец мы проникли настолько внутрь города Хивы, что оказались в самой Хиве, той, что является ее красой и славой, той, что является Хивой для всех нехивинцев… (А. Битов. Обоснованная ревность); Устроив Ханом в комнате, Чагатаев ушел наружу и до вечера ходил по городу Хиве... (А. Платонов. Джан).