Правильно: Русское географическое общество (но в составе географического названия: хребет Русского Географического Общества).
Если название указывается с родовым словом (акционерное общество "Национальный негосударственный пенсионный фонд"), то ориентироваться следует на родовое слово общество, например: акционерное общество "Национальный негосударственный пенсионный фонд" заработало за 2015 год...
Со строчной и с кавычками.
Если это предложение целиком, то запятая не требуется.
Варианты равноправны.
Верно со строчной буквы: ценности российского общества. Но: Российское общество историков медицины (название организации).
Правильно без запятой. Для ее постановки нет оснований.
Во всех случаях ударение падает на гласный И.
Правильно: открытому акционерному обществу «Племенной завод "Такой-то"».